Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50065 / 48523
↖ ↑ ↗
← S 65.097585°
E 95.015259°		 ← 257.19 m → S 65.097585°
E 95.020752°		 →
↑
257.20 m
↓
↑
257.20 m
↓
S 65.099898°
E 95.015259°		 ← 257.16 m →
66 145 m²		 S 65.099898°
E 95.020752°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50065 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48523 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763938903808594 y=0.740409851074219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763938903808594 × 216)
    floor (0.763938903808594 × 65536)
    floor (50065.5)     		tx = 50065
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740409851074219 × 216)
    floor (0.740409851074219 × 65536)
    floor (48523.5)     		ty = 48523
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50065 / 48523 ti = "16/50065/48523"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50065/48523.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50065 ÷ 216
    50065 ÷ 65536     		x = 0.763931274414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48523 ÷ 216
    48523 ÷ 65536     		y = 0.740402221679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763931274414062 × 2 - 1) × π
    0.527862548828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.65832911
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740402221679688 × 2 - 1) × π
    -0.480804443359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.51049170702797
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65832911} λ = 1.65832911}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51049170702797))-π/2
    2×atan(0.220801381671634)-π/2
    2×0.21731456172362-π/2
    0.43462912344724-1.57079632675     		φ = -1.13616720
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65832911} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.015259°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13616720 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.097585°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50065 KachelY 48523 1.65832911 -1.13616720 95.015259 -65.097585
    Oben rechts KachelX + 1 50066 KachelY 48523 1.65842498 -1.13616720 95.020752 -65.097585
    Unten links KachelX 50065 KachelY + 1 48524 1.65832911 -1.13620757 95.015259 -65.099898
    Unten rechts KachelX + 1 50066 KachelY + 1 48524 1.65842498 -1.13620757 95.020752 -65.099898
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13616720--1.13620757) × R
    4.03700000000118e-05 × 6371000     		dl = 257.197270000075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13616720--1.13620757) × R
    4.03700000000118e-05 × 6371000     		dr = 257.197270000075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65832911-1.65842498) × cos(-1.13616720) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.421074038593304 × 6371000     		do = 257.186873037293m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65832911-1.65842498) × cos(-1.13620757) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.421037421599684 × 6371000     		du = 257.164507825416m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13616720)-sin(-1.13620757))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.421074038593304-0.421037421599684)×R²
    abs(1.65842498-1.65832911)×3.66169936199534e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.66169936199534e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.66169936199534e-05×40589641000000     		ar = 66144.8854984836m²