Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50064 / 84688
↖ ↑ ↗
← S 46.468133°
W 42.495117°		 ← 210.36 m → S 46.468133°
W 42.492370°		 →
↑
210.31 m
↓
↑
210.31 m
↓
S 46.470024°
W 42.495117°		 ← 210.36 m →
44 240 m²		 S 46.470024°
W 42.492370°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50064 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84688 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.381961822509766 y=0.646121978759766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.381961822509766 × 217)
    floor (0.381961822509766 × 131072)
    floor (50064.5)     		tx = 50064
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.646121978759766 × 217)
    floor (0.646121978759766 × 131072)
    floor (84688.5)     		ty = 84688
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50064 / 84688 ti = "17/50064/84688"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50064/84688.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50064 ÷ 217
    50064 ÷ 131072     		x = 0.3819580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84688 ÷ 217
    84688 ÷ 131072     		y = 0.6461181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3819580078125 × 2 - 1) × π
    -0.236083984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.74167971
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6461181640625 × 2 - 1) × π
    -0.292236328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.918087501523315
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74167971} λ = -0.74167971}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.918087501523315))-π/2
    2×atan(0.399281937430033)-π/2
    2×0.379887204422626-π/2
    0.759774408845252-1.57079632675     		φ = -0.81102192
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74167971} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.495117°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81102192 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.468133°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50064 KachelY 84688 -0.74167971 -0.81102192 -42.495117 -46.468133
    Oben rechts KachelX + 1 50065 KachelY 84688 -0.74163177 -0.81102192 -42.492370 -46.468133
    Unten links KachelX 50064 KachelY + 1 84689 -0.74167971 -0.81105493 -42.495117 -46.470024
    Unten rechts KachelX + 1 50065 KachelY + 1 84689 -0.74163177 -0.81105493 -42.492370 -46.470024
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81102192--0.81105493) × R
    3.301e-05 × 6371000     		dl = 210.30671m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81102192--0.81105493) × R
    3.301e-05 × 6371000     		dr = 210.30671m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74167971--0.74163177) × cos(-0.81102192) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.688757909502705 × 6371000     		do = 210.364394190579m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74167971--0.74163177) × cos(-0.81105493) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.688733977161065 × 6371000     		du = 210.357084637423m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81102192)-sin(-0.81105493))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.688757909502705-0.688733977161065)×R²
    abs(-0.74163177--0.74167971)×2.39323416393322e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39323416393322e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39323416393322e-05×40589641000000     		ar = 44240.2750233281m²