Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 50064 / 50829
↖ ↑ ↗
← S 69.924644°
E 95.009766°		 ← 209.68 m → S 69.924644°
E 95.015259°		 →
↑
209.67 m
↓
↑
209.67 m
↓
S 69.926530°
E 95.009766°		 ← 209.66 m →
43 961 m²		 S 69.926530°
E 95.015259°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50064 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50829 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763923645019531 y=0.775596618652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763923645019531 × 216)
    floor (0.763923645019531 × 65536)
    floor (50064.5)     		tx = 50064
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775596618652344 × 216)
    floor (0.775596618652344 × 65536)
    floor (50829.5)     		ty = 50829
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50064 / 50829 ti = "16/50064/50829"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50064/50829.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50064 ÷ 216
    50064 ÷ 65536     		x = 0.763916015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50829 ÷ 216
    50829 ÷ 65536     		y = 0.775588989257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763916015625 × 2 - 1) × π
    0.52783203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.65823323
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775588989257812 × 2 - 1) × π
    -0.551177978515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.73157668807567
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65823323} λ = 1.65823323}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73157668807567))-π/2
    2×atan(0.177005107998581)-π/2
    2×0.175190528094956-π/2
    0.350381056189913-1.57079632675     		φ = -1.22041527
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65823323} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.009766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22041527 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.924644°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50064 KachelY 50829 1.65823323 -1.22041527 95.009766 -69.924644
    Oben rechts KachelX + 1 50065 KachelY 50829 1.65832911 -1.22041527 95.015259 -69.924644
    Unten links KachelX 50064 KachelY + 1 50830 1.65823323 -1.22044818 95.009766 -69.926530
    Unten rechts KachelX + 1 50065 KachelY + 1 50830 1.65832911 -1.22044818 95.015259 -69.926530
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22041527--1.22044818) × R
    3.29100000000526e-05 × 6371000     		dl = 209.669610000335m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22041527--1.22044818) × R
    3.29100000000526e-05 × 6371000     		dr = 209.669610000335m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65823323-1.65832911) × cos(-1.22041527) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.343255736906845 × 6371000     		do = 209.678274907899m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65823323-1.65832911) × cos(-1.22044818) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.343224826267368 × 6371000     		du = 209.659393098027m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22041527)-sin(-1.22044818))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343255736906845-0.343224826267368)×R²
    abs(1.65832911-1.65823323)×3.09106394774661e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.09106394774661e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.09106394774661e-05×40589641000000     		ar = 43961.1826584387m²