Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50063 / 50885
↖ ↑ ↗
← S 70.029970°
E 95.004273°		 ← 208.60 m → S 70.029970°
E 95.009766°		 →
↑
208.59 m
↓
↑
208.59 m
↓
S 70.031846°
E 95.004273°		 ← 208.58 m →
43 509 m²		 S 70.031846°
E 95.009766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50063 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50885 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763908386230469 y=0.776451110839844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763908386230469 × 216)
    floor (0.763908386230469 × 65536)
    floor (50063.5)     		tx = 50063
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776451110839844 × 216)
    floor (0.776451110839844 × 65536)
    floor (50885.5)     		ty = 50885
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50063 / 50885 ti = "16/50063/50885"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50063/50885.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50063 ÷ 216
    50063 ÷ 65536     		x = 0.763900756835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50885 ÷ 216
    50885 ÷ 65536     		y = 0.776443481445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763900756835938 × 2 - 1) × π
    0.527801513671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.65813736
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.776443481445312 × 2 - 1) × π
    -0.552886962890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.73694562083311
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65813736} λ = 1.65813736}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73694562083311))-π/2
    2×atan(0.176057326041495)-π/2
    2×0.174271389561188-π/2
    0.348542779122376-1.57079632675     		φ = -1.22225355
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65813736} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.004273°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22225355 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.029970°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50063 KachelY 50885 1.65813736 -1.22225355 95.004273 -70.029970
    Oben rechts KachelX + 1 50064 KachelY 50885 1.65823323 -1.22225355 95.009766 -70.029970
    Unten links KachelX 50063 KachelY + 1 50886 1.65813736 -1.22228629 95.004273 -70.031846
    Unten rechts KachelX + 1 50064 KachelY + 1 50886 1.65823323 -1.22228629 95.009766 -70.031846
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22225355--1.22228629) × R
    3.27399999999756e-05 × 6371000     		dl = 208.586539999844m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22225355--1.22228629) × R
    3.27399999999756e-05 × 6371000     		dr = 208.586539999844m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65813736-1.65823323) × cos(-1.22225355) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.341528568152925 × 6371000     		do = 208.601472533414m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65813736-1.65823323) × cos(-1.22228629) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.34149779658045 × 6371000     		du = 208.582677633282m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22225355)-sin(-1.22228629))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.341528568152925-0.34149779658045)×R²
    abs(1.65823323-1.65813736)×3.07715724753854e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.07715724753854e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.07715724753854e-05×40589641000000     		ar = 43509.4992170413m²