Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50061 / 49298
↖ ↑ ↗
← S 66.830843°
E 94.993286°		 ← 240.31 m → S 66.830843°
E 94.998779°		 →
↑
240.31 m
↓
↑
240.31 m
↓
S 66.833005°
E 94.993286°		 ← 240.29 m →
57 748 m²		 S 66.833005°
E 94.998779°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50061 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49298 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763877868652344 y=0.752235412597656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763877868652344 × 216)
    floor (0.763877868652344 × 65536)
    floor (50061.5)     		tx = 50061
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.752235412597656 × 216)
    floor (0.752235412597656 × 65536)
    floor (49298.5)     		ty = 49298
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50061 / 49298 ti = "16/50061/49298"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50061/49298.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50061 ÷ 216
    50061 ÷ 65536     		x = 0.763870239257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49298 ÷ 216
    49298 ÷ 65536     		y = 0.752227783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763870239257812 × 2 - 1) × π
    0.527740478515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.65794561
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.752227783203125 × 2 - 1) × π
    -0.50445556640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.58479390143906
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65794561} λ = 1.65794561}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58479390143906))-π/2
    2×atan(0.204990036915071)-π/2
    2×0.202189035591667-π/2
    0.404378071183333-1.57079632675     		φ = -1.16641826
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65794561} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.993286°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16641826 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.830843°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50061 KachelY 49298 1.65794561 -1.16641826 94.993286 -66.830843
    Oben rechts KachelX + 1 50062 KachelY 49298 1.65804148 -1.16641826 94.998779 -66.830843
    Unten links KachelX 50061 KachelY + 1 49299 1.65794561 -1.16645598 94.993286 -66.833005
    Unten rechts KachelX + 1 50062 KachelY + 1 49299 1.65804148 -1.16645598 94.998779 -66.833005
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16641826--1.16645598) × R
    3.77200000001299e-05 × 6371000     		dl = 240.314120000827m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16641826--1.16645598) × R
    3.77200000001299e-05 × 6371000     		dr = 240.314120000827m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65794561-1.65804148) × cos(-1.16641826) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.393447063904538 × 6371000     		do = 240.312654775295m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65794561-1.65804148) × cos(-1.16645598) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.39341238584552 × 6371000     		du = 240.29147384096m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16641826)-sin(-1.16645598))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.393447063904538-0.39341238584552)×R²
    abs(1.65804148-1.65794561)×3.46780590178009e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.46780590178009e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.46780590178009e-05×40589641000000     		ar = 57747.9791256466m²