Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50060 / 58204
↖ ↑ ↗
← N 19.735684°
W 42.506104°		 ← 287.49 m → N 19.735684°
W 42.503357°		 →
↑
287.46 m
↓
↑
287.46 m
↓
N 19.733098°
W 42.506104°		 ← 287.49 m →
82 641 m²		 N 19.733098°
W 42.503357°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50060 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58204 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.381931304931641 y=0.444065093994141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.381931304931641 × 217)
    floor (0.381931304931641 × 131072)
    floor (50060.5)     		tx = 50060
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444065093994141 × 217)
    floor (0.444065093994141 × 131072)
    floor (58204.5)     		ty = 58204
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50060 / 58204 ti = "17/50060/58204"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50060/58204.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50060 ÷ 217
    50060 ÷ 131072     		x = 0.381927490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58204 ÷ 217
    58204 ÷ 131072     		y = 0.444061279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.381927490234375 × 2 - 1) × π
    -0.23614501953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.74187146
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.444061279296875 × 2 - 1) × π
    0.11187744140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.351473348014252
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74187146} λ = -0.74187146}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.351473348014252))-π/2
    2×atan(1.42115986992832)-π/2
    2×0.957624492682151-π/2
    1.9152489853643-1.57079632675     		φ = 0.34445266
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74187146} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.506104°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34445266 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.735684°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50060 KachelY 58204 -0.74187146 0.34445266 -42.506104 19.735684
    Oben rechts KachelX + 1 50061 KachelY 58204 -0.74182352 0.34445266 -42.503357 19.735684
    Unten links KachelX 50060 KachelY + 1 58205 -0.74187146 0.34440754 -42.506104 19.733098
    Unten rechts KachelX + 1 50061 KachelY + 1 58205 -0.74182352 0.34440754 -42.503357 19.733098
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34445266-0.34440754) × R
    4.51200000000096e-05 × 6371000     		dl = 287.459520000061m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34445266-0.34440754) × R
    4.51200000000096e-05 × 6371000     		dr = 287.459520000061m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74187146--0.74182352) × cos(0.34445266) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.941260420202401 × 6371000     		do = 287.485160373506m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74187146--0.74182352) × cos(0.34440754) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.941275655435291 × 6371000     		du = 287.489813605786m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34445266)-sin(0.34440754))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.941260420202401-0.941275655435291)×R²
    abs(-0.74182352--0.74187146)×1.5235232890598e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.5235232890598e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.5235232890598e-05×40589641000000     		ar = 82641.0150300588m²