Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50059 / 50821
↖ ↑ ↗
← S 69.909554°
E 94.982300°		 ← 209.83 m → S 69.909554°
E 94.987793°		 →
↑
209.80 m
↓
↑
209.80 m
↓
S 69.911441°
E 94.982300°		 ← 209.81 m →
44 020 m²		 S 69.911441°
E 94.987793°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50059 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50821 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763847351074219 y=0.775474548339844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763847351074219 × 216)
    floor (0.763847351074219 × 65536)
    floor (50059.5)     		tx = 50059
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775474548339844 × 216)
    floor (0.775474548339844 × 65536)
    floor (50821.5)     		ty = 50821
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50059 / 50821 ti = "16/50059/50821"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50059/50821.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50059 ÷ 216
    50059 ÷ 65536     		x = 0.763839721679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50821 ÷ 216
    50821 ÷ 65536     		y = 0.775466918945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763839721679688 × 2 - 1) × π
    0.527679443359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.65775386
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775466918945312 × 2 - 1) × π
    -0.550933837890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.73080969768175
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65775386} λ = 1.65775386}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73080969768175))-π/2
    2×atan(0.177140921293179)-π/2
    2×0.175322212445972-π/2
    0.350644424891944-1.57079632675     		φ = -1.22015190
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65775386} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.982300°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22015190 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.909554°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50059 KachelY 50821 1.65775386 -1.22015190 94.982300 -69.909554
    Oben rechts KachelX + 1 50060 KachelY 50821 1.65784974 -1.22015190 94.987793 -69.909554
    Unten links KachelX 50059 KachelY + 1 50822 1.65775386 -1.22018483 94.982300 -69.911441
    Unten rechts KachelX + 1 50060 KachelY + 1 50822 1.65784974 -1.22018483 94.987793 -69.911441
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22015190--1.22018483) × R
    3.29299999999311e-05 × 6371000     		dl = 209.797029999561m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22015190--1.22018483) × R
    3.29299999999311e-05 × 6371000     		dr = 209.797029999561m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65775386-1.65784974) × cos(-1.22015190) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.343503093159797 × 6371000     		do = 209.829372841588m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65775386-1.65784974) × cos(-1.22018483) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.343472166713172 × 6371000     		du = 209.810481375896m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22015190)-sin(-1.22018483))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343503093159797-0.343472166713172)×R²
    abs(1.65784974-1.65775386)×3.09264466250014e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.09264466250014e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.09264466250014e-05×40589641000000     		ar = 44019.5975458068m²