Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50058 / 58234
↖ ↑ ↗
← N 19.658107°
W 42.511597°		 ← 287.56 m → N 19.658107°
W 42.508850°		 →
↑
287.65 m
↓
↑
287.65 m
↓
N 19.655521°
W 42.511597°		 ← 287.57 m →
82 719 m²		 N 19.655521°
W 42.508850°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50058 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58234 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.381916046142578 y=0.444293975830078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.381916046142578 × 217)
    floor (0.381916046142578 × 131072)
    floor (50058.5)     		tx = 50058
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444293975830078 × 217)
    floor (0.444293975830078 × 131072)
    floor (58234.5)     		ty = 58234
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50058 / 58234 ti = "17/50058/58234"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50058/58234.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50058 ÷ 217
    50058 ÷ 131072     		x = 0.381912231445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58234 ÷ 217
    58234 ÷ 131072     		y = 0.444290161132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.381912231445312 × 2 - 1) × π
    -0.236175537109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.74196733
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.444290161132812 × 2 - 1) × π
    0.111419677734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.35003524102565
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74196733} λ = -0.74196733}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.35003524102565))-π/2
    2×atan(1.41911755887034)-π/2
    2×0.956947511929247-π/2
    1.91389502385849-1.57079632675     		φ = 0.34309870
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74196733} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.511597°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34309870 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.658107°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50058 KachelY 58234 -0.74196733 0.34309870 -42.511597 19.658107
    Oben rechts KachelX + 1 50059 KachelY 58234 -0.74191940 0.34309870 -42.508850 19.658107
    Unten links KachelX 50058 KachelY + 1 58235 -0.74196733 0.34305355 -42.511597 19.655521
    Unten rechts KachelX + 1 50059 KachelY + 1 58235 -0.74191940 0.34305355 -42.508850 19.655521
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34309870-0.34305355) × R
    4.51499999999938e-05 × 6371000     		dl = 287.650649999961m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34309870-0.34305355) × R
    4.51499999999938e-05 × 6371000     		dr = 287.650649999961m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74196733--0.74191940) × cos(0.34309870) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.941716764595624 × 6371000     		do = 287.564542922128m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74196733--0.74191940) × cos(0.34305355) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.941731952402796 × 6371000     		du = 287.569180701757m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34309870)-sin(0.34305355))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.941716764595624-0.941731952402796)×R²
    abs(-0.74191940--0.74196733)×1.51878071723566e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.51878071723566e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.51878071723566e-05×40589641000000     		ar = 82718.7947326928m²