Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50057 / 58233
↖ ↑ ↗
← N 19.660694°
W 42.514343°		 ← 287.62 m → N 19.660694°
W 42.511597°		 →
↑
287.59 m
↓
↑
287.59 m
↓
N 19.658107°
W 42.514343°		 ← 287.62 m →
82 716 m²		 N 19.658107°
W 42.511597°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50057 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58233 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.381908416748047 y=0.444286346435547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.381908416748047 × 217)
    floor (0.381908416748047 × 131072)
    floor (50057.5)     		tx = 50057
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444286346435547 × 217)
    floor (0.444286346435547 × 131072)
    floor (58233.5)     		ty = 58233
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50057 / 58233 ti = "17/50057/58233"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50057/58233.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50057 ÷ 217
    50057 ÷ 131072     		x = 0.381904602050781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58233 ÷ 217
    58233 ÷ 131072     		y = 0.444282531738281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.381904602050781 × 2 - 1) × π
    -0.236190795898438 × 3.1415926535     		Λ = -0.74201527
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.444282531738281 × 2 - 1) × π
    0.111434936523438 × 3.1415926535     		Φ = 0.35008317792527
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74201527} λ = -0.74201527}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.35008317792527))-π/2
    2×atan(1.41918558859686)-π/2
    2×0.956970083238274-π/2
    1.91394016647655-1.57079632675     		φ = 0.34314384
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74201527} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.514343°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34314384 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.660694°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50057 KachelY 58233 -0.74201527 0.34314384 -42.514343 19.660694
    Oben rechts KachelX + 1 50058 KachelY 58233 -0.74196733 0.34314384 -42.511597 19.660694
    Unten links KachelX 50057 KachelY + 1 58234 -0.74201527 0.34309870 -42.514343 19.658107
    Unten rechts KachelX + 1 50058 KachelY + 1 58234 -0.74196733 0.34309870 -42.511597 19.658107
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34314384-0.34309870) × R
    4.51399999999991e-05 × 6371000     		dl = 287.586939999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34314384-0.34309870) × R
    4.51399999999991e-05 × 6371000     		dr = 287.586939999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74201527--0.74196733) × cos(0.34314384) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.941701578233234 × 6371000     		do = 287.619901390865m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74201527--0.74196733) × cos(0.34309870) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.941716764595624 × 6371000     		du = 287.624539696836m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34314384)-sin(0.34309870))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.941701578233234-0.941716764595624)×R²
    abs(-0.74196733--0.74201527)×1.51863623900628e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.51863623900628e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.51863623900628e-05×40589641000000     		ar = 82716.3942962147m²