Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50057 / 50886
↖ ↑ ↗
← S 70.031846°
E 94.971314°		 ← 208.58 m → S 70.031846°
E 94.976807°		 →
↑
208.59 m
↓
↑
208.59 m
↓
S 70.033722°
E 94.971314°		 ← 208.56 m →
43 506 m²		 S 70.033722°
E 94.976807°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50057 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50886 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763816833496094 y=0.776466369628906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763816833496094 × 216)
    floor (0.763816833496094 × 65536)
    floor (50057.5)     		tx = 50057
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776466369628906 × 216)
    floor (0.776466369628906 × 65536)
    floor (50886.5)     		ty = 50886
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50057 / 50886 ti = "16/50057/50886"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50057/50886.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50057 ÷ 216
    50057 ÷ 65536     		x = 0.763809204101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50886 ÷ 216
    50886 ÷ 65536     		y = 0.776458740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763809204101562 × 2 - 1) × π
    0.527618408203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.65756212
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.776458740234375 × 2 - 1) × π
    -0.55291748046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.73704149463235
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65756212} λ = 1.65756212}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73704149463235))-π/2
    2×atan(0.176040447565878)-π/2
    2×0.174255018478-π/2
    0.348510036956-1.57079632675     		φ = -1.22228629
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65756212} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.971314°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22228629 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.031846°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50057 KachelY 50886 1.65756212 -1.22228629 94.971314 -70.031846
    Oben rechts KachelX + 1 50058 KachelY 50886 1.65765799 -1.22228629 94.976807 -70.031846
    Unten links KachelX 50057 KachelY + 1 50887 1.65756212 -1.22231903 94.971314 -70.033722
    Unten rechts KachelX + 1 50058 KachelY + 1 50887 1.65765799 -1.22231903 94.976807 -70.033722
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22228629--1.22231903) × R
    3.27399999999756e-05 × 6371000     		dl = 208.586539999844m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22228629--1.22231903) × R
    3.27399999999756e-05 × 6371000     		dr = 208.586539999844m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65756212-1.65765799) × cos(-1.22228629) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.34149779658045 × 6371000     		do = 208.582677633282m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65756212-1.65765799) × cos(-1.22231903) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.34146702464192 × 6371000     		du = 208.563882509569m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22228629)-sin(-1.22231903))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.34149779658045-0.34146702464192)×R²
    abs(1.65765799-1.65756212)×3.07719385295169e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.07719385295169e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.07719385295169e-05×40589641000000     		ar = 43505.5788303148m²