Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50057 / 48530
↖ ↑ ↗
← S 65.113772°
E 94.971314°		 ← 257.03 m → S 65.113772°
E 94.976807°		 →
↑
257.01 m
↓
↑
257.01 m
↓
S 65.116083°
E 94.971314°		 ← 257.01 m →
66 056 m²		 S 65.116083°
E 94.976807°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50057 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48530 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763816833496094 y=0.740516662597656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763816833496094 × 216)
    floor (0.763816833496094 × 65536)
    floor (50057.5)     		tx = 50057
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740516662597656 × 216)
    floor (0.740516662597656 × 65536)
    floor (48530.5)     		ty = 48530
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50057 / 48530 ti = "16/50057/48530"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50057/48530.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50057 ÷ 216
    50057 ÷ 65536     		x = 0.763809204101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48530 ÷ 216
    48530 ÷ 65536     		y = 0.740509033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763809204101562 × 2 - 1) × π
    0.527618408203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.65756212
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740509033203125 × 2 - 1) × π
    -0.48101806640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.51116282362265
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65756212} λ = 1.65756212}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51116282362265))-π/2
    2×atan(0.220653247913337)-π/2
    2×0.217173309834887-π/2
    0.434346619669775-1.57079632675     		φ = -1.13644971
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65756212} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.971314°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13644971 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.113772°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50057 KachelY 48530 1.65756212 -1.13644971 94.971314 -65.113772
    Oben rechts KachelX + 1 50058 KachelY 48530 1.65765799 -1.13644971 94.976807 -65.113772
    Unten links KachelX 50057 KachelY + 1 48531 1.65756212 -1.13649005 94.971314 -65.116083
    Unten rechts KachelX + 1 50058 KachelY + 1 48531 1.65765799 -1.13649005 94.976807 -65.116083
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13644971--1.13649005) × R
    4.03399999999721e-05 × 6371000     		dl = 257.006139999822m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13644971--1.13649005) × R
    4.03399999999721e-05 × 6371000     		dr = 257.006139999822m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65756212-1.65765799) × cos(-1.13644971) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.420817777801886 × 6371000     		do = 257.030352079964m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65756212-1.65765799) × cos(-1.13649005) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.420781183222482 × 6371000     		du = 257.008000558415m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13644971)-sin(-1.13649005))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.420817777801886-0.420781183222482)×R²
    abs(1.65765799-1.65756212)×3.65945794040257e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.65945794040257e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.65945794040257e-05×40589641000000     		ar = 66055.5064206483m²