Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50057 / 48528
↖ ↑ ↗
← S 65.109148°
E 94.971314°		 ← 257.08 m → S 65.109148°
E 94.976807°		 →
↑
257.07 m
↓
↑
257.07 m
↓
S 65.111460°
E 94.971314°		 ← 257.05 m →
66 083 m²		 S 65.111460°
E 94.976807°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50057 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48528 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763816833496094 y=0.740486145019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763816833496094 × 216)
    floor (0.763816833496094 × 65536)
    floor (50057.5)     		tx = 50057
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740486145019531 × 216)
    floor (0.740486145019531 × 65536)
    floor (48528.5)     		ty = 48528
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50057 / 48528 ti = "16/50057/48528"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50057/48528.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50057 ÷ 216
    50057 ÷ 65536     		x = 0.763809204101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48528 ÷ 216
    48528 ÷ 65536     		y = 0.740478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763809204101562 × 2 - 1) × π
    0.527618408203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.65756212
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740478515625 × 2 - 1) × π
    -0.48095703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.51097107602417
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65756212} λ = 1.65756212}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51097107602417))-π/2
    2×atan(0.220695561700375)-π/2
    2×0.217213658743341-π/2
    0.434427317486682-1.57079632675     		φ = -1.13636901
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65756212} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.971314°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13636901 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.109148°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50057 KachelY 48528 1.65756212 -1.13636901 94.971314 -65.109148
    Oben rechts KachelX + 1 50058 KachelY 48528 1.65765799 -1.13636901 94.976807 -65.109148
    Unten links KachelX 50057 KachelY + 1 48529 1.65756212 -1.13640936 94.971314 -65.111460
    Unten rechts KachelX + 1 50058 KachelY + 1 48529 1.65765799 -1.13640936 94.976807 -65.111460
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13636901--1.13640936) × R
    4.03500000001333e-05 × 6371000     		dl = 257.069850000849m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13636901--1.13640936) × R
    4.03500000001333e-05 × 6371000     		dr = 257.069850000849m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65756212-1.65765799) × cos(-1.13636901) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.420890983048449 × 6371000     		do = 257.075064949264m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65756212-1.65765799) × cos(-1.13640936) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.420854380767768 × 6371000     		du = 257.052708723871m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13636901)-sin(-1.13640936))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.420890983048449-0.420854380767768)×R²
    abs(1.65765799-1.65756212)×3.66022806804756e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.66022806804756e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.66022806804756e-05×40589641000000     		ar = 66083.3748388551m²