Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50056 / 51005
↖ ↑ ↗
← S 70.253885°
E 94.965820°		 ← 206.38 m → S 70.253885°
E 94.971314°		 →
↑
206.36 m
↓
↑
206.36 m
↓
S 70.255741°
E 94.965820°		 ← 206.36 m →
42 586 m²		 S 70.255741°
E 94.971314°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50056 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51005 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763801574707031 y=0.778282165527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763801574707031 × 216)
    floor (0.763801574707031 × 65536)
    floor (50056.5)     		tx = 50056
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778282165527344 × 216)
    floor (0.778282165527344 × 65536)
    floor (51005.5)     		ty = 51005
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50056 / 51005 ti = "16/50056/51005"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50056/51005.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50056 ÷ 216
    50056 ÷ 65536     		x = 0.7637939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51005 ÷ 216
    51005 ÷ 65536     		y = 0.778274536132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7637939453125 × 2 - 1) × π
    0.527587890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.65746624
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.778274536132812 × 2 - 1) × π
    -0.556549072265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.74845047674193
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65746624} λ = 1.65746624}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74845047674193))-π/2
    2×atan(0.174043418942822)-π/2
    2×0.172317359665202-π/2
    0.344634719330405-1.57079632675     		φ = -1.22616161
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65746624} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.965820°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22616161 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.253885°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50056 KachelY 51005 1.65746624 -1.22616161 94.965820 -70.253885
    Oben rechts KachelX + 1 50057 KachelY 51005 1.65756212 -1.22616161 94.971314 -70.253885
    Unten links KachelX 50056 KachelY + 1 51006 1.65746624 -1.22619400 94.965820 -70.255741
    Unten rechts KachelX + 1 50057 KachelY + 1 51006 1.65756212 -1.22619400 94.971314 -70.255741
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22616161--1.22619400) × R
    3.23900000001043e-05 × 6371000     		dl = 206.356690000664m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22616161--1.22619400) × R
    3.23900000001043e-05 × 6371000     		dr = 206.356690000664m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65746624-1.65756212) × cos(-1.22616161) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.337852895634765 × 6371000     		do = 206.377941320646m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65746624-1.65756212) × cos(-1.22619400) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.337822410024289 × 6371000     		du = 206.359319140369m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22616161)-sin(-1.22619400))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337852895634765-0.337822410024289)×R²
    abs(1.65756212-1.65746624)×3.04856104755835e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.04856104755835e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.04856104755835e-05×40589641000000     		ar = 42585.5474582483m²