Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 50056 / 50309
S 68.920885°
E 94.965820°
← 219.70 m → S 68.920885°
E 94.971314°

219.67 m

219.67 m
S 68.922861°
E 94.965820°
← 219.68 m →
48 259 m²
S 68.922861°
E 94.971314°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50056 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50309 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763801574707031 y=0.767662048339844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763801574707031 × 216)
    floor (0.763801574707031 × 65536)
    floor (50056.5)
    tx = 50056
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.767662048339844 × 216)
    floor (0.767662048339844 × 65536)
    floor (50309.5)
    ty = 50309
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50056 / 50309 ti = "16/50056/50309"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50056/50309.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50056 ÷ 216
    50056 ÷ 65536
    x = 0.7637939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50309 ÷ 216
    50309 ÷ 65536
    y = 0.767654418945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.7637939453125 × 2 - 1) × π
    0.527587890625 × 3.1415926535
    Λ = 1.65746624
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.767654418945312 × 2 - 1) × π
    -0.535308837890625 × 3.1415926535
    Φ = -1.68172231247081
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65746624} λ = 1.65746624}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68172231247081))-π/2
    2×atan(0.186053258083791)-π/2
    2×0.183949977280403-π/2
    0.367899954560806-1.57079632675
    φ = -1.20289637
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65746624} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.965820°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20289637 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.920885°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50056 KachelY 50309 1.65746624 -1.20289637 94.965820 -68.920885
    Oben rechts KachelX + 1 50057 KachelY 50309 1.65756212 -1.20289637 94.971314 -68.920885
    Unten links KachelX 50056 KachelY + 1 50310 1.65746624 -1.20293085 94.965820 -68.922861
    Unten rechts KachelX + 1 50057 KachelY + 1 50310 1.65756212 -1.20293085 94.971314 -68.922861
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(-1.20289637--1.20293085) × R
    3.44800000000589e-05 × 6371000
    dl = 219.672080000375m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(-1.20289637--1.20293085) × R
    3.44800000000589e-05 × 6371000
    dr = 219.672080000375m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(1.65746624-1.65756212) × cos(-1.20289637) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.359656708302481 × 6371000
    do = 219.696832558355m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(1.65746624-1.65756212) × cos(-1.20293085) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.359624535328335 × 6371000
    du = 219.677179649482m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(-1.20289637)-sin(-1.20293085))×
    abs(λ12)×abs(0.359656708302481-0.359624535328335)×
    abs(1.65756212-1.65746624)×3.21729741461496e-05×
    9.58799999999371e-05×3.21729741461496e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.21729741461496e-05×40589641000000
    ar = 48259.1015848106m²