Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50055 / 58241
↖ ↑ ↗
← N 19.640001°
W 42.519836°		 ← 287.60 m → N 19.640001°
W 42.517090°		 →
↑
287.65 m
↓
↑
287.65 m
↓
N 19.637414°
W 42.519836°		 ← 287.60 m →
82 728 m²		 N 19.637414°
W 42.517090°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50055 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58241 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.381893157958984 y=0.444347381591797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.381893157958984 × 217)
    floor (0.381893157958984 × 131072)
    floor (50055.5)     		tx = 50055
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444347381591797 × 217)
    floor (0.444347381591797 × 131072)
    floor (58241.5)     		ty = 58241
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50055 / 58241 ti = "17/50055/58241"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50055/58241.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50055 ÷ 217
    50055 ÷ 131072     		x = 0.381889343261719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58241 ÷ 217
    58241 ÷ 131072     		y = 0.444343566894531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.381889343261719 × 2 - 1) × π
    -0.236221313476562 × 3.1415926535     		Λ = -0.74211114
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.444343566894531 × 2 - 1) × π
    0.111312866210938 × 3.1415926535     		Φ = 0.34969968272831
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74211114} λ = -0.74211114}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.34969968272831))-π/2
    2×atan(1.41864144208549)-π/2
    2×0.956789502576455-π/2
    1.91357900515291-1.57079632675     		φ = 0.34278268
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74211114} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.519836°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34278268 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.640001°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50055 KachelY 58241 -0.74211114 0.34278268 -42.519836 19.640001
    Oben rechts KachelX + 1 50056 KachelY 58241 -0.74206321 0.34278268 -42.517090 19.640001
    Unten links KachelX 50055 KachelY + 1 58242 -0.74211114 0.34273753 -42.519836 19.637414
    Unten rechts KachelX + 1 50056 KachelY + 1 58242 -0.74206321 0.34273753 -42.517090 19.637414
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34278268-0.34273753) × R
    4.51499999999938e-05 × 6371000     		dl = 287.650649999961m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34278268-0.34273753) × R
    4.51499999999938e-05 × 6371000     		dr = 287.650649999961m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74211114--0.74206321) × cos(0.34278268) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.941823028846895 × 6371000     		do = 287.596991989612m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74211114--0.74206321) × cos(0.34273753) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.941838203216501 × 6371000     		du = 287.601625665919m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34278268)-sin(0.34273753))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.941823028846895-0.941838203216501)×R²
    abs(-0.74206321--0.74211114)×1.51743696057416e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.51743696057416e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.51743696057416e-05×40589641000000     		ar = 82728.1281378958m²