Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50055 / 50889
↖ ↑ ↗
← S 70.037473°
E 94.960327°		 ← 208.53 m → S 70.037473°
E 94.965820°		 →
↑
208.52 m
↓
↑
208.52 m
↓
S 70.039348°
E 94.960327°		 ← 208.51 m →
43 481 m²		 S 70.039348°
E 94.965820°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50055 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50889 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763786315917969 y=0.776512145996094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763786315917969 × 216)
    floor (0.763786315917969 × 65536)
    floor (50055.5)     		tx = 50055
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776512145996094 × 216)
    floor (0.776512145996094 × 65536)
    floor (50889.5)     		ty = 50889
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50055 / 50889 ti = "16/50055/50889"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50055/50889.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50055 ÷ 216
    50055 ÷ 65536     		x = 0.763778686523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50889 ÷ 216
    50889 ÷ 65536     		y = 0.776504516601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763778686523438 × 2 - 1) × π
    0.527557373046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.65737037
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.776504516601562 × 2 - 1) × π
    -0.553009033203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.73732911603008
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65737037} λ = 1.65737037}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73732911603008))-π/2
    2×atan(0.175989821847163)-π/2
    2×0.174205914078775-π/2
    0.34841182815755-1.57079632675     		φ = -1.22238450
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65737037} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.960327°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22238450 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.037473°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50055 KachelY 50889 1.65737037 -1.22238450 94.960327 -70.037473
    Oben rechts KachelX + 1 50056 KachelY 50889 1.65746624 -1.22238450 94.965820 -70.037473
    Unten links KachelX 50055 KachelY + 1 50890 1.65737037 -1.22241723 94.960327 -70.039348
    Unten rechts KachelX + 1 50056 KachelY + 1 50890 1.65746624 -1.22241723 94.965820 -70.039348
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22238450--1.22241723) × R
    3.27300000000363e-05 × 6371000     		dl = 208.522830000232m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22238450--1.22241723) × R
    3.27300000000363e-05 × 6371000     		dr = 208.522830000232m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65737037-1.65746624) × cos(-1.22238450) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.341405489065992 × 6371000     		do = 208.526297332372m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65737037-1.65746624) × cos(-1.22241723) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.341374725428883 × 6371000     		du = 208.507507279065m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22238450)-sin(-1.22241723))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.341405489065992-0.341374725428883)×R²
    abs(1.65746624-1.65737037)×3.07636371092435e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.07636371092435e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.07636371092435e-05×40589641000000     		ar = 43480.5345756433m²