Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50055 / 50861
↖ ↑ ↗
← S 69.984895°
E 94.960327°		 ← 209.05 m → S 69.984895°
E 94.965820°		 →
↑
209.03 m
↓
↑
209.03 m
↓
S 69.986775°
E 94.960327°		 ← 209.03 m →
43 697 m²		 S 69.986775°
E 94.965820°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50055 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50861 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763786315917969 y=0.776084899902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763786315917969 × 216)
    floor (0.763786315917969 × 65536)
    floor (50055.5)     		tx = 50055
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776084899902344 × 216)
    floor (0.776084899902344 × 65536)
    floor (50861.5)     		ty = 50861
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50055 / 50861 ti = "16/50055/50861"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50055/50861.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50055 ÷ 216
    50055 ÷ 65536     		x = 0.763778686523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50861 ÷ 216
    50861 ÷ 65536     		y = 0.776077270507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763778686523438 × 2 - 1) × π
    0.527557373046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.65737037
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.776077270507812 × 2 - 1) × π
    -0.552154541015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.73464464965135
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65737037} λ = 1.65737037}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73464464965135))-π/2
    2×atan(0.176462895297701)-π/2
    2×0.174664738397865-π/2
    0.349329476795731-1.57079632675     		φ = -1.22146685
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65737037} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.960327°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22146685 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.984895°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50055 KachelY 50861 1.65737037 -1.22146685 94.960327 -69.984895
    Oben rechts KachelX + 1 50056 KachelY 50861 1.65746624 -1.22146685 94.965820 -69.984895
    Unten links KachelX 50055 KachelY + 1 50862 1.65737037 -1.22149966 94.960327 -69.986775
    Unten rechts KachelX + 1 50056 KachelY + 1 50862 1.65746624 -1.22149966 94.965820 -69.986775
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22146685--1.22149966) × R
    3.28099999999942e-05 × 6371000     		dl = 209.032509999963m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22146685--1.22149966) × R
    3.28099999999942e-05 × 6371000     		dr = 209.032509999963m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65737037-1.65746624) × cos(-1.22146685) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.342267859216786 × 6371000     		do = 209.05302247369m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65737037-1.65746624) × cos(-1.22149966) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.342237030677081 × 6371000     		du = 209.034192778671m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22146685)-sin(-1.22149966))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.342267859216786-0.342237030677081)×R²
    abs(1.65746624-1.65737037)×3.08285397048191e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.08285397048191e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.08285397048191e-05×40589641000000     		ar = 43696.9100053507m²