Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50055 / 50817
↖ ↑ ↗
← S 69.902006°
E 94.960327°		 ← 209.88 m → S 69.902006°
E 94.965820°		 →
↑
209.86 m
↓
↑
209.86 m
↓
S 69.903893°
E 94.960327°		 ← 209.86 m →
44 044 m²		 S 69.903893°
E 94.965820°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50055 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50817 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763786315917969 y=0.775413513183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763786315917969 × 216)
    floor (0.763786315917969 × 65536)
    floor (50055.5)     		tx = 50055
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775413513183594 × 216)
    floor (0.775413513183594 × 65536)
    floor (50817.5)     		ty = 50817
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50055 / 50817 ti = "16/50055/50817"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50055/50817.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50055 ÷ 216
    50055 ÷ 65536     		x = 0.763778686523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50817 ÷ 216
    50817 ÷ 65536     		y = 0.775405883789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763778686523438 × 2 - 1) × π
    0.527557373046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.65737037
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775405883789062 × 2 - 1) × π
    -0.550811767578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.73042620248479
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65737037} λ = 1.65737037}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73042620248479))-π/2
    2×atan(0.177208867013276)-π/2
    2×0.17538809020118-π/2
    0.350776180402361-1.57079632675     		φ = -1.22002015
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65737037} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.960327°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22002015 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.902006°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50055 KachelY 50817 1.65737037 -1.22002015 94.960327 -69.902006
    Oben rechts KachelX + 1 50056 KachelY 50817 1.65746624 -1.22002015 94.965820 -69.902006
    Unten links KachelX 50055 KachelY + 1 50818 1.65737037 -1.22005309 94.960327 -69.903893
    Unten rechts KachelX + 1 50056 KachelY + 1 50818 1.65746624 -1.22005309 94.965820 -69.903893
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22002015--1.22005309) × R
    3.29399999998703e-05 × 6371000     		dl = 209.860739999174m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22002015--1.22005309) × R
    3.29399999998703e-05 × 6371000     		dr = 209.860739999174m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65737037-1.65746624) × cos(-1.22002015) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.343626823394254 × 6371000     		do = 209.883061173156m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65737037-1.65746624) × cos(-1.22005309) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.343595889046952 × 6371000     		du = 209.864166852151m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22002015)-sin(-1.22005309))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343626823394254-0.343595889046952)×R²
    abs(1.65746624-1.65737037)×3.09343473019474e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.09343473019474e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.09343473019474e-05×40589641000000     		ar = 44044.231947043m²