Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50054 / 50811
↖ ↑ ↗
← S 69.890676°
E 94.954834°		 ← 210.02 m → S 69.890676°
E 94.960327°		 →
↑
210.05 m
↓
↑
210.05 m
↓
S 69.892565°
E 94.954834°		 ← 210 m →
44 113 m²		 S 69.892565°
E 94.960327°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50054 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50811 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763771057128906 y=0.775321960449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763771057128906 × 216)
    floor (0.763771057128906 × 65536)
    floor (50054.5)     		tx = 50054
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775321960449219 × 216)
    floor (0.775321960449219 × 65536)
    floor (50811.5)     		ty = 50811
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50054 / 50811 ti = "16/50054/50811"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50054/50811.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50054 ÷ 216
    50054 ÷ 65536     		x = 0.763763427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50811 ÷ 216
    50811 ÷ 65536     		y = 0.775314331054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763763427734375 × 2 - 1) × π
    0.52752685546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.65727449
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775314331054688 × 2 - 1) × π
    -0.550628662109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.72985095968935
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65727449} λ = 1.65727449}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72985095968935))-π/2
    2×atan(0.177310834462522)-π/2
    2×0.175486951329434-π/2
    0.350973902658868-1.57079632675     		φ = -1.21982242
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65727449} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.954834°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21982242 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.890676°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50054 KachelY 50811 1.65727449 -1.21982242 94.954834 -69.890676
    Oben rechts KachelX + 1 50055 KachelY 50811 1.65737037 -1.21982242 94.960327 -69.890676
    Unten links KachelX 50054 KachelY + 1 50812 1.65727449 -1.21985539 94.954834 -69.892565
    Unten rechts KachelX + 1 50055 KachelY + 1 50812 1.65737037 -1.21985539 94.960327 -69.892565
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21982242--1.21985539) × R
    3.296999999991e-05 × 6371000     		dl = 210.051869999427m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21982242--1.21985539) × R
    3.296999999991e-05 × 6371000     		dr = 210.051869999427m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65727449-1.65737037) × cos(-1.21982242) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.34381250616049 × 6371000     		do = 210.018378230507m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65727449-1.65737037) × cos(-1.21985539) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.343781545880322 × 6371000     		du = 209.999466097545m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21982242)-sin(-1.21985539))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.34381250616049-0.343781545880322)×R²
    abs(1.65737037-1.65727449)×3.09602801681907e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.09602801681907e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.09602801681907e-05×40589641000000     		ar = 44112.7668207992m²