Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50053 / 50810
↖ ↑ ↗
← S 69.888788°
E 94.949341°		 ← 210.02 m → S 69.888788°
E 94.954834°		 →
↑
209.99 m
↓
↑
209.99 m
↓
S 69.890676°
E 94.949341°		 ← 210 m →
44 099 m²		 S 69.890676°
E 94.954834°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50053 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50810 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763755798339844 y=0.775306701660156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763755798339844 × 216)
    floor (0.763755798339844 × 65536)
    floor (50053.5)     		tx = 50053
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775306701660156 × 216)
    floor (0.775306701660156 × 65536)
    floor (50810.5)     		ty = 50810
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50053 / 50810 ti = "16/50053/50810"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50053/50810.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50053 ÷ 216
    50053 ÷ 65536     		x = 0.763748168945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50810 ÷ 216
    50810 ÷ 65536     		y = 0.775299072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763748168945312 × 2 - 1) × π
    0.527496337890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.65717862
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775299072265625 × 2 - 1) × π
    -0.55059814453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.72975508589011
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65717862} λ = 1.65717862}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72975508589011))-π/2
    2×atan(0.177327834740796)-π/2
    2×0.175503433376762-π/2
    0.351006866753525-1.57079632675     		φ = -1.21978946
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65717862} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.949341°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21978946 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.888788°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50053 KachelY 50810 1.65717862 -1.21978946 94.949341 -69.888788
    Oben rechts KachelX + 1 50054 KachelY 50810 1.65727449 -1.21978946 94.954834 -69.888788
    Unten links KachelX 50053 KachelY + 1 50811 1.65717862 -1.21982242 94.949341 -69.890676
    Unten rechts KachelX + 1 50054 KachelY + 1 50811 1.65727449 -1.21982242 94.954834 -69.890676
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21978946--1.21982242) × R
    3.29599999999708e-05 × 6371000     		dl = 209.988159999814m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21978946--1.21982242) × R
    3.29599999999708e-05 × 6371000     		dr = 209.988159999814m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65717862-1.65727449) × cos(-1.21978946) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.343843456676657 × 6371000     		do = 210.015378132623m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65717862-1.65727449) × cos(-1.21982242) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.34381250616049 × 6371000     		du = 209.996473935873m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21978946)-sin(-1.21982242))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343843456676657-0.34381250616049)×R²
    abs(1.65727449-1.65717862)×3.09505161670831e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.09505161670831e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.09505161670831e-05×40589641000000     		ar = 44098.7580012477m²