Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 50052 / 50303
↖ ↑ ↗
← S 68.909028°
E 94.943848°		 ← 219.79 m → S 68.909028°
E 94.949341°		 →
↑
219.80 m
↓
↑
219.80 m
↓
S 68.911005°
E 94.943848°		 ← 219.77 m →
48 308 m²		 S 68.911005°
E 94.949341°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50052 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50303 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763740539550781 y=0.767570495605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763740539550781 × 216)
    floor (0.763740539550781 × 65536)
    floor (50052.5)     		tx = 50052
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.767570495605469 × 216)
    floor (0.767570495605469 × 65536)
    floor (50303.5)     		ty = 50303
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50052 / 50303 ti = "16/50052/50303"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50052/50303.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50052 ÷ 216
    50052 ÷ 65536     		x = 0.76373291015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50303 ÷ 216
    50303 ÷ 65536     		y = 0.767562866210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76373291015625 × 2 - 1) × π
    0.5274658203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.65708275
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.767562866210938 × 2 - 1) × π
    -0.535125732421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.68114706967537
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65708275} λ = 1.65708275}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68114706967537))-π/2
    2×atan(0.186160314668884)-π/2
    2×0.18405345001123-π/2
    0.368106900022459-1.57079632675     		φ = -1.20268943
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65708275} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.943848°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20268943 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.909028°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50052 KachelY 50303 1.65708275 -1.20268943 94.943848 -68.909028
    Oben rechts KachelX + 1 50053 KachelY 50303 1.65717862 -1.20268943 94.949341 -68.909028
    Unten links KachelX 50052 KachelY + 1 50304 1.65708275 -1.20272393 94.943848 -68.911005
    Unten rechts KachelX + 1 50053 KachelY + 1 50304 1.65717862 -1.20272393 94.949341 -68.911005
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20268943--1.20272393) × R
    3.45000000001594e-05 × 6371000     		dl = 219.799500001016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20268943--1.20272393) × R
    3.45000000001594e-05 × 6371000     		dr = 219.799500001016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65708275-1.65717862) × cos(-1.20268943) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.359849793147346 × 6371000     		do = 219.791852691424m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65708275-1.65717862) × cos(-1.20272393) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.359817604079576 × 6371000     		du = 219.772192002502m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20268943)-sin(-1.20272393))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.359849793147346-0.359817604079576)×R²
    abs(1.65717862-1.65708275)×3.21890677700276e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.21890677700276e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.21890677700276e-05×40589641000000     		ar = 48307.978625874m²