Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50051 / 58239
↖ ↑ ↗
← N 19.645174°
W 42.530823°		 ← 287.65 m → N 19.645174°
W 42.528076°		 →
↑
287.59 m
↓
↑
287.59 m
↓
N 19.642588°
W 42.530823°		 ← 287.65 m →
82 724 m²		 N 19.642588°
W 42.528076°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50051 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58239 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.381862640380859 y=0.444332122802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.381862640380859 × 217)
    floor (0.381862640380859 × 131072)
    floor (50051.5)     		tx = 50051
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444332122802734 × 217)
    floor (0.444332122802734 × 131072)
    floor (58239.5)     		ty = 58239
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50051 / 58239 ti = "17/50051/58239"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50051/58239.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50051 ÷ 217
    50051 ÷ 131072     		x = 0.381858825683594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58239 ÷ 217
    58239 ÷ 131072     		y = 0.444328308105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.381858825683594 × 2 - 1) × π
    -0.236282348632812 × 3.1415926535     		Λ = -0.74230289
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.444328308105469 × 2 - 1) × π
    0.111343383789062 × 3.1415926535     		Φ = 0.34979555652755
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74230289} λ = -0.74230289}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.34979555652755))-π/2
    2×atan(1.41877745915044)-π/2
    2×0.956834649924994-π/2
    1.91366929984999-1.57079632675     		φ = 0.34287297
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74230289} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.530823°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34287297 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.645174°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50051 KachelY 58239 -0.74230289 0.34287297 -42.530823 19.645174
    Oben rechts KachelX + 1 50052 KachelY 58239 -0.74225495 0.34287297 -42.528076 19.645174
    Unten links KachelX 50051 KachelY + 1 58240 -0.74230289 0.34282783 -42.530823 19.642588
    Unten rechts KachelX + 1 50052 KachelY + 1 58240 -0.74225495 0.34282783 -42.528076 19.642588
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34287297-0.34282783) × R
    4.51399999999991e-05 × 6371000     		dl = 287.586939999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34287297-0.34282783) × R
    4.51399999999991e-05 × 6371000     		dr = 287.586939999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74230289--0.74225495) × cos(0.34287297) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.941792677709874 × 6371000     		do = 287.647725516597m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74230289--0.74225495) × cos(0.34282783) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.941807852557362 × 6371000     		du = 287.652360305621m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34287297)-sin(0.34282783))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.941792677709874-0.941807852557362)×R²
    abs(-0.74225495--0.74230289)×1.51748474874758e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.51748474874758e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.51748474874758e-05×40589641000000     		ar = 82724.3956456824m²