Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50050 / 58110
↖ ↑ ↗
← N 19.978511°
W 42.533569°		 ← 287.05 m → N 19.978511°
W 42.530823°		 →
↑
287.01 m
↓
↑
287.01 m
↓
N 19.975930°
W 42.533569°		 ← 287.05 m →
82 387 m²		 N 19.975930°
W 42.530823°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50050 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58110 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.381855010986328 y=0.443347930908203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.381855010986328 × 217)
    floor (0.381855010986328 × 131072)
    floor (50050.5)     		tx = 50050
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443347930908203 × 217)
    floor (0.443347930908203 × 131072)
    floor (58110.5)     		ty = 58110
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50050 / 58110 ti = "17/50050/58110"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50050/58110.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50050 ÷ 217
    50050 ÷ 131072     		x = 0.381851196289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58110 ÷ 217
    58110 ÷ 131072     		y = 0.443344116210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.381851196289062 × 2 - 1) × π
    -0.236297607421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.74235083
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.443344116210938 × 2 - 1) × π
    0.113311767578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.355979416578537
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74235083} λ = -0.74235083}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.355979416578537))-π/2
    2×atan(1.42757816351842)-π/2
    2×0.95974356571061-π/2
    1.91948713142122-1.57079632675     		φ = 0.34869080
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74235083} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.533569°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34869080 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.978511°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50050 KachelY 58110 -0.74235083 0.34869080 -42.533569 19.978511
    Oben rechts KachelX + 1 50051 KachelY 58110 -0.74230289 0.34869080 -42.530823 19.978511
    Unten links KachelX 50050 KachelY + 1 58111 -0.74235083 0.34864575 -42.533569 19.975930
    Unten rechts KachelX + 1 50051 KachelY + 1 58111 -0.74230289 0.34864575 -42.530823 19.975930
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34869080-0.34864575) × R
    4.50500000000464e-05 × 6371000     		dl = 287.013550000296m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34869080-0.34864575) × R
    4.50500000000464e-05 × 6371000     		dr = 287.013550000296m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74235083--0.74230289) × cos(0.34869080) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.939820829484178 × 6371000     		do = 287.045472312431m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74235083--0.74230289) × cos(0.34864575) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.939836220659796 × 6371000     		du = 287.050173173633m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34869080)-sin(0.34864575))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.939820829484178-0.939836220659796)×R²
    abs(-0.74230289--0.74235083)×1.53911756182179e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.53911756182179e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.53911756182179e-05×40589641000000     		ar = 82386.6146392683m²