Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 50050 / 50814
↖ ↑ ↗
← S 69.896342°
E 94.932861°		 ← 209.94 m → S 69.896342°
E 94.938354°		 →
↑
209.92 m
↓
↑
209.92 m
↓
S 69.898230°
E 94.932861°		 ← 209.92 m →
44 070 m²		 S 69.898230°
E 94.938354°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50050 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50814 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763710021972656 y=0.775367736816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763710021972656 × 216)
    floor (0.763710021972656 × 65536)
    floor (50050.5)     		tx = 50050
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775367736816406 × 216)
    floor (0.775367736816406 × 65536)
    floor (50814.5)     		ty = 50814
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50050 / 50814 ti = "16/50050/50814"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50050/50814.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50050 ÷ 216
    50050 ÷ 65536     		x = 0.763702392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50814 ÷ 216
    50814 ÷ 65536     		y = 0.775360107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763702392578125 × 2 - 1) × π
    0.52740478515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.65689100
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775360107421875 × 2 - 1) × π
    -0.55072021484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.73013858108707
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65689100} λ = 1.65689100}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73013858108707))-π/2
    2×atan(0.177259843405894)-π/2
    2×0.175437514089777-π/2
    0.350875028179553-1.57079632675     		φ = -1.21992130
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65689100} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.932861°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21992130 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.896342°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50050 KachelY 50814 1.65689100 -1.21992130 94.932861 -69.896342
    Oben rechts KachelX + 1 50051 KachelY 50814 1.65698687 -1.21992130 94.938354 -69.896342
    Unten links KachelX 50050 KachelY + 1 50815 1.65689100 -1.21995425 94.932861 -69.898230
    Unten rechts KachelX + 1 50051 KachelY + 1 50815 1.65698687 -1.21995425 94.938354 -69.898230
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21992130--1.21995425) × R
    3.29500000000316e-05 × 6371000     		dl = 209.924450000201m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21992130--1.21995425) × R
    3.29500000000316e-05 × 6371000     		dr = 209.924450000201m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65689100-1.65698687) × cos(-1.21992130) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.343719652371095 × 6371000     		do = 209.939759976912m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65689100-1.65698687) × cos(-1.21995425) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.343688709751948 × 6371000     		du = 209.920860603565m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21992130)-sin(-1.21995425))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343719652371095-0.343688709751948)×R²
    abs(1.65698687-1.65689100)×3.09426191478224e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.09426191478224e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.09426191478224e-05×40589641000000     		ar = 44069.5049300636m²