Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 50050 / 50306
↖ ↑ ↗
← S 68.914957°
E 94.932861°		 ← 219.73 m → S 68.914957°
E 94.938354°		 →
↑
219.74 m
↓
↑
219.74 m
↓
S 68.916934°
E 94.932861°		 ← 219.71 m →
48 281 m²		 S 68.916934°
E 94.938354°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50050 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50306 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763710021972656 y=0.767616271972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763710021972656 × 216)
    floor (0.763710021972656 × 65536)
    floor (50050.5)     		tx = 50050
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.767616271972656 × 216)
    floor (0.767616271972656 × 65536)
    floor (50306.5)     		ty = 50306
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50050 / 50306 ti = "16/50050/50306"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50050/50306.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50050 ÷ 216
    50050 ÷ 65536     		x = 0.763702392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50306 ÷ 216
    50306 ÷ 65536     		y = 0.767608642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763702392578125 × 2 - 1) × π
    0.52740478515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.65689100
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.767608642578125 × 2 - 1) × π
    -0.53521728515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.68143469107309
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65689100} λ = 1.65689100}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68143469107309))-π/2
    2×atan(0.186106778678396)-π/2
    2×0.184001706703717-π/2
    0.368003413407433-1.57079632675     		φ = -1.20279291
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65689100} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.932861°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20279291 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.914957°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50050 KachelY 50306 1.65689100 -1.20279291 94.932861 -68.914957
    Oben rechts KachelX + 1 50051 KachelY 50306 1.65698687 -1.20279291 94.938354 -68.914957
    Unten links KachelX 50050 KachelY + 1 50307 1.65689100 -1.20282740 94.932861 -68.916934
    Unten rechts KachelX + 1 50051 KachelY + 1 50307 1.65698687 -1.20282740 94.938354 -68.916934
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20279291--1.20282740) × R
    3.44899999999981e-05 × 6371000     		dl = 219.735789999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20279291--1.20282740) × R
    3.44899999999981e-05 × 6371000     		dr = 219.735789999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65689100-1.65698687) × cos(-1.20279291) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.359753243320205 × 6371000     		do = 219.732881237811m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65689100-1.65698687) × cos(-1.20282740) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.359721062298579 × 6371000     		du = 219.713225463375m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20279291)-sin(-1.20282740))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.359753243320205-0.359721062298579)×R²
    abs(1.65698687-1.65689100)×3.21810216265539e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.21810216265539e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.21810216265539e-05×40589641000000     		ar = 48281.0187141434m²