Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50049 / 50813
↖ ↑ ↗
← S 69.894453°
E 94.927368°		 ← 209.98 m → S 69.894453°
E 94.932861°		 →
↑
209.99 m
↓
↑
209.99 m
↓
S 69.896342°
E 94.927368°		 ← 209.96 m →
44 091 m²		 S 69.896342°
E 94.932861°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50049 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50813 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763694763183594 y=0.775352478027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763694763183594 × 216)
    floor (0.763694763183594 × 65536)
    floor (50049.5)     		tx = 50049
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775352478027344 × 216)
    floor (0.775352478027344 × 65536)
    floor (50813.5)     		ty = 50813
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50049 / 50813 ti = "16/50049/50813"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50049/50813.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50049 ÷ 216
    50049 ÷ 65536     		x = 0.763687133789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50813 ÷ 216
    50813 ÷ 65536     		y = 0.775344848632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763687133789062 × 2 - 1) × π
    0.527374267578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.65679512
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775344848632812 × 2 - 1) × π
    -0.550689697265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.73004270728783
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65679512} λ = 1.65679512}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73004270728783))-π/2
    2×atan(0.177276838795227)-π/2
    2×0.175453991686057-π/2
    0.350907983372114-1.57079632675     		φ = -1.21988834
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65679512} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.927368°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21988834 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.894453°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50049 KachelY 50813 1.65679512 -1.21988834 94.927368 -69.894453
    Oben rechts KachelX + 1 50050 KachelY 50813 1.65689100 -1.21988834 94.932861 -69.894453
    Unten links KachelX 50049 KachelY + 1 50814 1.65679512 -1.21992130 94.927368 -69.896342
    Unten rechts KachelX + 1 50050 KachelY + 1 50814 1.65689100 -1.21992130 94.932861 -69.896342
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21988834--1.21992130) × R
    3.29599999999708e-05 × 6371000     		dl = 209.988159999814m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21988834--1.21992130) × R
    3.29599999999708e-05 × 6371000     		dr = 209.988159999814m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65679512-1.65689100) × cos(-1.21988834) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.343750604007676 × 6371000     		do = 209.980565208845m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65679512-1.65689100) × cos(-1.21992130) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.343719652371095 × 6371000     		du = 209.961658355831m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21988834)-sin(-1.21992130))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343750604007676-0.343719652371095)×R²
    abs(1.65689100-1.65679512)×3.09516365803453e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.09516365803453e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.09516365803453e-05×40589641000000     		ar = 44091.4474204663m²