Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50048 / 48361
↖ ↑ ↗
← S 64.720226°
E 94.921875°		 ← 260.83 m → S 64.720226°
E 94.927368°		 →
↑
260.83 m
↓
↑
260.83 m
↓
S 64.722571°
E 94.921875°		 ← 260.81 m →
68 029 m²		 S 64.722571°
E 94.927368°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50048 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48361 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763679504394531 y=0.737937927246094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763679504394531 × 216)
    floor (0.763679504394531 × 65536)
    floor (50048.5)     		tx = 50048
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.737937927246094 × 216)
    floor (0.737937927246094 × 65536)
    floor (48361.5)     		ty = 48361
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50048 / 48361 ti = "16/50048/48361"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50048/48361.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50048 ÷ 216
    50048 ÷ 65536     		x = 0.763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48361 ÷ 216
    48361 ÷ 65536     		y = 0.737930297851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763671875 × 2 - 1) × π
    0.52734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.65669925
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.737930297851562 × 2 - 1) × π
    -0.475860595703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.49496015155107
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65669925} λ = 1.65669925}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49496015155107))-π/2
    2×atan(0.224257540867653)-π/2
    2×0.220607646791578-π/2
    0.441215293583156-1.57079632675     		φ = -1.12958103
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65669925} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.921875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12958103 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.720226°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50048 KachelY 48361 1.65669925 -1.12958103 94.921875 -64.720226
    Oben rechts KachelX + 1 50049 KachelY 48361 1.65679512 -1.12958103 94.927368 -64.720226
    Unten links KachelX 50048 KachelY + 1 48362 1.65669925 -1.12962197 94.921875 -64.722571
    Unten rechts KachelX + 1 50049 KachelY + 1 48362 1.65679512 -1.12962197 94.927368 -64.722571
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12958103--1.12962197) × R
    4.09400000001003e-05 × 6371000     		dl = 260.828740000639m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12958103--1.12962197) × R
    4.09400000001003e-05 × 6371000     		dr = 260.828740000639m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65669925-1.65679512) × cos(-1.12958103) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.427038692047008 × 6371000     		do = 260.830010419103m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65669925-1.65679512) × cos(-1.12962197) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.427001672375697 × 6371000     		du = 260.807399256617m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12958103)-sin(-1.12962197))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.427038692047008-0.427001672375697)×R²
    abs(1.65679512-1.65669925)×3.70196713110338e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.70196713110338e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.70196713110338e-05×40589641000000     		ar = 68029.0141608415m²