Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50042 / 58250
↖ ↑ ↗
← N 19.616718°
W 42.555542°		 ← 287.64 m → N 19.616718°
W 42.552796°		 →
↑
287.71 m
↓
↑
287.71 m
↓
N 19.614131°
W 42.555542°		 ← 287.64 m →
82 758 m²		 N 19.614131°
W 42.552796°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50042 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58250 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.381793975830078 y=0.444416046142578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.381793975830078 × 217)
    floor (0.381793975830078 × 131072)
    floor (50042.5)     		tx = 50042
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444416046142578 × 217)
    floor (0.444416046142578 × 131072)
    floor (58250.5)     		ty = 58250
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50042 / 58250 ti = "17/50042/58250"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50042/58250.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50042 ÷ 217
    50042 ÷ 131072     		x = 0.381790161132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58250 ÷ 217
    58250 ÷ 131072     		y = 0.444412231445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.381790161132812 × 2 - 1) × π
    -0.236419677734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.74273432
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.444412231445312 × 2 - 1) × π
    0.111175537109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.349268250631729
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74273432} λ = -0.74273432}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.349268250631729))-π/2
    2×atan(1.41802952664331)-π/2
    2×0.956586321508842-π/2
    1.91317264301768-1.57079632675     		φ = 0.34237632
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74273432} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.555542°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34237632 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.616718°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50042 KachelY 58250 -0.74273432 0.34237632 -42.555542 19.616718
    Oben rechts KachelX + 1 50043 KachelY 58250 -0.74268639 0.34237632 -42.552796 19.616718
    Unten links KachelX 50042 KachelY + 1 58251 -0.74273432 0.34233116 -42.555542 19.614131
    Unten rechts KachelX + 1 50043 KachelY + 1 58251 -0.74268639 0.34233116 -42.552796 19.614131
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34237632-0.34233116) × R
    4.51599999999885e-05 × 6371000     		dl = 287.714359999927m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34237632-0.34233116) × R
    4.51599999999885e-05 × 6371000     		dr = 287.714359999927m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74273432--0.74268639) × cos(0.34237632) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.941959532409512 × 6371000     		do = 287.638674993929m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74273432--0.74268639) × cos(0.34233116) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.941974692854793 × 6371000     		du = 287.643304418276m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34237632)-sin(0.34233116))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.941959532409512-0.941974692854793)×R²
    abs(-0.74268639--0.74273432)×1.51604452810483e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.51604452810483e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.51604452810483e-05×40589641000000     		ar = 82758.4432771899m²