Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50041 / 50799
↖ ↑ ↗
← S 69.868001°
E 94.883423°		 ← 210.25 m → S 69.868001°
E 94.888916°		 →
↑
210.24 m
↓
↑
210.24 m
↓
S 69.869892°
E 94.883423°		 ← 210.23 m →
44 201 m²		 S 69.869892°
E 94.888916°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50041 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50799 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763572692871094 y=0.775138854980469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763572692871094 × 216)
    floor (0.763572692871094 × 65536)
    floor (50041.5)     		tx = 50041
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775138854980469 × 216)
    floor (0.775138854980469 × 65536)
    floor (50799.5)     		ty = 50799
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50041 / 50799 ti = "16/50041/50799"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50041/50799.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50041 ÷ 216
    50041 ÷ 65536     		x = 0.763565063476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50799 ÷ 216
    50799 ÷ 65536     		y = 0.775131225585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763565063476562 × 2 - 1) × π
    0.527130126953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.65602813
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775131225585938 × 2 - 1) × π
    -0.550262451171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.72870047409847
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65602813} λ = 1.65602813}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72870047409847))-π/2
    2×atan(0.177514945413519)-π/2
    2×0.175684833861145-π/2
    0.35136966772229-1.57079632675     		φ = -1.21942666
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65602813} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.883423°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21942666 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.868001°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50041 KachelY 50799 1.65602813 -1.21942666 94.883423 -69.868001
    Oben rechts KachelX + 1 50042 KachelY 50799 1.65612401 -1.21942666 94.888916 -69.868001
    Unten links KachelX 50041 KachelY + 1 50800 1.65602813 -1.21945966 94.883423 -69.869892
    Unten rechts KachelX + 1 50042 KachelY + 1 50800 1.65612401 -1.21945966 94.888916 -69.869892
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21942666--1.21945966) × R
    3.29999999999497e-05 × 6371000     		dl = 210.24299999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21942666--1.21945966) × R
    3.29999999999497e-05 × 6371000     		dr = 210.24299999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65602813-1.65612401) × cos(-1.21942666) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.344184113030101 × 6371000     		do = 210.245374837274m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65602813-1.65612401) × cos(-1.21945966) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.344153129070886 × 6371000     		du = 210.226448239931m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21942666)-sin(-1.21945966))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344184113030101-0.344153129070886)×R²
    abs(1.65612401-1.65602813)×3.09839592148031e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.09839592148031e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.09839592148031e-05×40589641000000     		ar = 44200.6287539177m²