Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50040 / 58200
↖ ↑ ↗
← N 19.746024°
W 42.561035°		 ← 287.47 m → N 19.746024°
W 42.558289°		 →
↑
287.46 m
↓
↑
287.46 m
↓
N 19.743439°
W 42.561035°		 ← 287.47 m →
82 636 m²		 N 19.743439°
W 42.558289°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50040 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58200 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.381778717041016 y=0.444034576416016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.381778717041016 × 217)
    floor (0.381778717041016 × 131072)
    floor (50040.5)     		tx = 50040
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444034576416016 × 217)
    floor (0.444034576416016 × 131072)
    floor (58200.5)     		ty = 58200
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50040 / 58200 ti = "17/50040/58200"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50040/58200.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50040 ÷ 217
    50040 ÷ 131072     		x = 0.38177490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58200 ÷ 217
    58200 ÷ 131072     		y = 0.44403076171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38177490234375 × 2 - 1) × π
    -0.2364501953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.74283020
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44403076171875 × 2 - 1) × π
    0.1119384765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.351665095612732
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74283020} λ = -0.74283020}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.351665095612732))-π/2
    2×atan(1.42143240004809)-π/2
    2×0.957714731972755-π/2
    1.91542946394551-1.57079632675     		φ = 0.34463314
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74283020} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.561035°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34463314 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.746024°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50040 KachelY 58200 -0.74283020 0.34463314 -42.561035 19.746024
    Oben rechts KachelX + 1 50041 KachelY 58200 -0.74278226 0.34463314 -42.558289 19.746024
    Unten links KachelX 50040 KachelY + 1 58201 -0.74283020 0.34458802 -42.561035 19.743439
    Unten rechts KachelX + 1 50041 KachelY + 1 58201 -0.74278226 0.34458802 -42.558289 19.743439
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34463314-0.34458802) × R
    4.51200000000096e-05 × 6371000     		dl = 287.459520000061m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34463314-0.34458802) × R
    4.51200000000096e-05 × 6371000     		dr = 287.459520000061m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74283020--0.74278226) × cos(0.34463314) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.941199460108833 × 6371000     		do = 287.466541591152m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74283020--0.74278226) × cos(0.34458802) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.941214703006464 × 6371000     		du = 287.471197164441m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34463314)-sin(0.34458802))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.941199460108833-0.941214703006464)×R²
    abs(-0.74278226--0.74283020)×1.52428976305519e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.52428976305519e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.52428976305519e-05×40589641000000     		ar = 82635.6632203993m²