Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50040 / 50934
↖ ↑ ↗
← S 70.121695°
E 94.877930°		 ← 207.68 m → S 70.121695°
E 94.883423°		 →
↑
207.69 m
↓
↑
207.69 m
↓
S 70.123563°
E 94.877930°		 ← 207.66 m →
43 133 m²		 S 70.123563°
E 94.883423°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50040 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50934 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763557434082031 y=0.777198791503906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763557434082031 × 216)
    floor (0.763557434082031 × 65536)
    floor (50040.5)     		tx = 50040
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777198791503906 × 216)
    floor (0.777198791503906 × 65536)
    floor (50934.5)     		ty = 50934
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50040 / 50934 ti = "16/50040/50934"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50040/50934.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50040 ÷ 216
    50040 ÷ 65536     		x = 0.7635498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50934 ÷ 216
    50934 ÷ 65536     		y = 0.777191162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7635498046875 × 2 - 1) × π
    0.527099609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.65593226
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.777191162109375 × 2 - 1) × π
    -0.55438232421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.74164343699588
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65593226} λ = 1.65593226}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74164343699588))-π/2
    2×atan(0.175232180797519)-π/2
    2×0.173470939117392-π/2
    0.346941878234785-1.57079632675     		φ = -1.22385445
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65593226} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.877930°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22385445 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.121695°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50040 KachelY 50934 1.65593226 -1.22385445 94.877930 -70.121695
    Oben rechts KachelX + 1 50041 KachelY 50934 1.65602813 -1.22385445 94.883423 -70.121695
    Unten links KachelX 50040 KachelY + 1 50935 1.65593226 -1.22388705 94.877930 -70.123563
    Unten rechts KachelX + 1 50041 KachelY + 1 50935 1.65602813 -1.22388705 94.883423 -70.123563
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22385445--1.22388705) × R
    3.26000000001603e-05 × 6371000     		dl = 207.694600001021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22385445--1.22388705) × R
    3.26000000001603e-05 × 6371000     		dr = 207.694600001021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65593226-1.65602813) × cos(-1.22385445) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.340023491032665 × 6371000     		do = 207.682189835452m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65593226-1.65602813) × cos(-1.22388705) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.339992833259667 × 6371000     		du = 207.663464442649m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22385445)-sin(-1.22388705))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.340023491032665-0.339992833259667)×R²
    abs(1.65602813-1.65593226)×3.06577729985436e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.06577729985436e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.06577729985436e-05×40589641000000     		ar = 43132.5247674652m²