Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 50040 / 50800
↖ ↑ ↗
← S 69.869892°
E 94.877930°		 ← 210.20 m → S 69.869892°
E 94.883423°		 →
↑
210.18 m
↓
↑
210.18 m
↓
S 69.871782°
E 94.877930°		 ← 210.19 m →
44 179 m²		 S 69.871782°
E 94.883423°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50040 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50800 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763557434082031 y=0.775154113769531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763557434082031 × 216)
    floor (0.763557434082031 × 65536)
    floor (50040.5)     		tx = 50040
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775154113769531 × 216)
    floor (0.775154113769531 × 65536)
    floor (50800.5)     		ty = 50800
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50040 / 50800 ti = "16/50040/50800"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50040/50800.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50040 ÷ 216
    50040 ÷ 65536     		x = 0.7635498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50800 ÷ 216
    50800 ÷ 65536     		y = 0.775146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7635498046875 × 2 - 1) × π
    0.527099609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.65593226
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775146484375 × 2 - 1) × π
    -0.55029296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.72879634789771
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65593226} λ = 1.65593226}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72879634789771))-π/2
    2×atan(0.177497927197094)-π/2
    2×0.1756683354844-π/2
    0.3513366709688-1.57079632675     		φ = -1.21945966
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65593226} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.877930°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21945966 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.869892°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50040 KachelY 50800 1.65593226 -1.21945966 94.877930 -69.869892
    Oben rechts KachelX + 1 50041 KachelY 50800 1.65602813 -1.21945966 94.883423 -69.869892
    Unten links KachelX 50040 KachelY + 1 50801 1.65593226 -1.21949265 94.877930 -69.871782
    Unten rechts KachelX + 1 50041 KachelY + 1 50801 1.65602813 -1.21949265 94.883423 -69.871782
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21945966--1.21949265) × R
    3.29900000000105e-05 × 6371000     		dl = 210.179290000067m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21945966--1.21949265) × R
    3.29900000000105e-05 × 6371000     		dr = 210.179290000067m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65593226-1.65602813) × cos(-1.21945966) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.344153129070886 × 6371000     		do = 210.204522243724m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65593226-1.65602813) × cos(-1.21949265) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.344122154126138 × 6371000     		du = 210.185603126295m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21945966)-sin(-1.21949265))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344153129070886-0.344122154126138)×R²
    abs(1.65602813-1.65593226)×3.09749447487406e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.09749447487406e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.09749447487406e-05×40589641000000     		ar = 44178.6490406383m²