Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5004 / 5141
↖ ↑ ↗
← S 41.672912°
E 39.902344°		 ← 3 649.98 m → S 41.672912°
E 39.946289°		 →
↑
3 649.05 m
↓
↑
3 649.05 m
↓
S 41.705729°
E 39.902344°		 ← 3 648.12 m →
13 315 574 m²		 S 41.705729°
E 39.946289°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5004 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5141 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.61090087890625 y=0.62762451171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.61090087890625 × 213)
    floor (0.61090087890625 × 8192)
    floor (5004.5)     		tx = 5004
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.62762451171875 × 213)
    floor (0.62762451171875 × 8192)
    floor (5141.5)     		ty = 5141
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5004 / 5141 ti = "13/5004/5141"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5004/5141.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5004 ÷ 213
    5004 ÷ 8192     		x = 0.61083984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5141 ÷ 213
    5141 ÷ 8192     		y = 0.6275634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.61083984375 × 2 - 1) × π
    0.2216796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.69642728
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6275634765625 × 2 - 1) × π
    -0.255126953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.801504961647339
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69642728} λ = 0.69642728}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.801504961647339))-π/2
    2×atan(0.448653249848752)-π/2
    2×0.421733403333345-π/2
    0.843466806666691-1.57079632675     		φ = -0.72732952
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69642728} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.902344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72732952 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.672912°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5004 KachelY 5141 0.69642728 -0.72732952 39.902344 -41.672912
    Oben rechts KachelX + 1 5005 KachelY 5141 0.69719427 -0.72732952 39.946289 -41.672912
    Unten links KachelX 5004 KachelY + 1 5142 0.69642728 -0.72790228 39.902344 -41.705729
    Unten rechts KachelX + 1 5005 KachelY + 1 5142 0.69719427 -0.72790228 39.946289 -41.705729
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72732952--0.72790228) × R
    0.000572760000000061 × 6371000     		dl = 3649.05396000039m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72732952--0.72790228) × R
    0.000572760000000061 × 6371000     		dr = 3649.05396000039m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69642728-0.69719427) × cos(-0.72732952) × R
    0.000766990000000023 × 0.746952605160643 × 6371000     		do = 3649.97889306561m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69642728-0.69719427) × cos(-0.72790228) × R
    0.000766990000000023 × 0.746571667546648 × 6371000     		du = 3648.11744397092m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72732952)-sin(-0.72790228))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.746952605160643-0.746571667546648)×R²
    abs(0.69719427-0.69642728)×0.000380937613994603×R²
    0.000766990000000023×0.000380937613994603×6371000²
    0.000766990000000023×0.000380937613994603×40589641000000     		ar = 13315574.0335823m²