Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50039 / 48498
↖ ↑ ↗
← S 65.039697°
E 94.872437°		 ← 257.75 m → S 65.039697°
E 94.877930°		 →
↑
257.71 m
↓
↑
257.71 m
↓
S 65.042015°
E 94.872437°		 ← 257.72 m →
66 420 m²		 S 65.042015°
E 94.877930°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50039 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48498 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763542175292969 y=0.740028381347656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763542175292969 × 216)
    floor (0.763542175292969 × 65536)
    floor (50039.5)     		tx = 50039
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740028381347656 × 216)
    floor (0.740028381347656 × 65536)
    floor (48498.5)     		ty = 48498
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50039 / 48498 ti = "16/50039/48498"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50039/48498.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50039 ÷ 216
    50039 ÷ 65536     		x = 0.763534545898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48498 ÷ 216
    48498 ÷ 65536     		y = 0.740020751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763534545898438 × 2 - 1) × π
    0.527069091796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.65583639
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740020751953125 × 2 - 1) × π
    -0.48004150390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.50809486204697
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65583639} λ = 1.65583639}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50809486204697))-π/2
    2×atan(0.221331243099279)-π/2
    2×0.217819735157092-π/2
    0.435639470314183-1.57079632675     		φ = -1.13515686
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65583639} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.872437°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13515686 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.039697°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50039 KachelY 48498 1.65583639 -1.13515686 94.872437 -65.039697
    Oben rechts KachelX + 1 50040 KachelY 48498 1.65593226 -1.13515686 94.877930 -65.039697
    Unten links KachelX 50039 KachelY + 1 48499 1.65583639 -1.13519731 94.872437 -65.042015
    Unten rechts KachelX + 1 50040 KachelY + 1 48499 1.65593226 -1.13519731 94.877930 -65.042015
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13515686--1.13519731) × R
    4.04499999999697e-05 × 6371000     		dl = 257.706949999807m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13515686--1.13519731) × R
    4.04499999999697e-05 × 6371000     		dr = 257.706949999807m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65583639-1.65593226) × cos(-1.13515686) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.421990228445362 × 6371000     		do = 257.746470593927m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65583639-1.65593226) × cos(-1.13519731) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.421953556114813 × 6371000     		du = 257.724071582931m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13515686)-sin(-1.13519731))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.421990228445362-0.421953556114813)×R²
    abs(1.65593226-1.65583639)×3.66723305488814e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.66723305488814e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.66723305488814e-05×40589641000000     		ar = 66420.1706287708m²