Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50038 / 48505
↖ ↑ ↗
← S 65.055918°
E 94.866943°		 ← 257.62 m → S 65.055918°
E 94.872437°		 →
↑
257.64 m
↓
↑
257.64 m
↓
S 65.058235°
E 94.866943°		 ← 257.59 m →
66 370 m²		 S 65.058235°
E 94.872437°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50038 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48505 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763526916503906 y=0.740135192871094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763526916503906 × 216)
    floor (0.763526916503906 × 65536)
    floor (50038.5)     		tx = 50038
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740135192871094 × 216)
    floor (0.740135192871094 × 65536)
    floor (48505.5)     		ty = 48505
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50038 / 48505 ti = "16/50038/48505"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50038/48505.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50038 ÷ 216
    50038 ÷ 65536     		x = 0.763519287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48505 ÷ 216
    48505 ÷ 65536     		y = 0.740127563476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763519287109375 × 2 - 1) × π
    0.52703857421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.65574051
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740127563476562 × 2 - 1) × π
    -0.480255126953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.50876597864165
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65574051} λ = 1.65574051}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50876597864165))-π/2
    2×atan(0.221182753861482)-π/2
    2×0.217678175904499-π/2
    0.435356351808999-1.57079632675     		φ = -1.13543997
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65574051} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.866943°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13543997 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.055918°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50038 KachelY 48505 1.65574051 -1.13543997 94.866943 -65.055918
    Oben rechts KachelX + 1 50039 KachelY 48505 1.65583639 -1.13543997 94.872437 -65.055918
    Unten links KachelX 50038 KachelY + 1 48506 1.65574051 -1.13548041 94.866943 -65.058235
    Unten rechts KachelX + 1 50039 KachelY + 1 48506 1.65583639 -1.13548041 94.872437 -65.058235
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13543997--1.13548041) × R
    4.04400000000305e-05 × 6371000     		dl = 257.643240000194m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13543997--1.13548041) × R
    4.04400000000305e-05 × 6371000     		dr = 257.643240000194m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65574051-1.65583639) × cos(-1.13543997) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.421733543903982 × 6371000     		do = 257.616559459223m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65574051-1.65583639) × cos(-1.13548041) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.421696875809934 × 6371000     		du = 257.594160699705m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13543997)-sin(-1.13548041))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.421733543903982-0.421696875809934)×R²
    abs(1.65583639-1.65574051)×3.66680940480091e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.66680940480091e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.66680940480091e-05×40589641000000     		ar = 66370.2796213162m²