Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50038 / 48497
↖ ↑ ↗
← S 65.037379°
E 94.866943°		 ← 257.80 m → S 65.037379°
E 94.872437°		 →
↑
257.77 m
↓
↑
257.77 m
↓
S 65.039697°
E 94.866943°		 ← 257.77 m →
66 449 m²		 S 65.039697°
E 94.872437°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50038 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48497 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763526916503906 y=0.740013122558594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763526916503906 × 216)
    floor (0.763526916503906 × 65536)
    floor (50038.5)     		tx = 50038
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740013122558594 × 216)
    floor (0.740013122558594 × 65536)
    floor (48497.5)     		ty = 48497
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50038 / 48497 ti = "16/50038/48497"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50038/48497.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50038 ÷ 216
    50038 ÷ 65536     		x = 0.763519287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48497 ÷ 216
    48497 ÷ 65536     		y = 0.740005493164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763519287109375 × 2 - 1) × π
    0.52703857421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.65574051
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740005493164062 × 2 - 1) × π
    -0.480010986328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.50799898824773
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65574051} λ = 1.65574051}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50799898824773))-π/2
    2×atan(0.221352463983692)-π/2
    2×0.217839964939626-π/2
    0.435679929879253-1.57079632675     		φ = -1.13511640
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65574051} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.866943°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13511640 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.037379°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50038 KachelY 48497 1.65574051 -1.13511640 94.866943 -65.037379
    Oben rechts KachelX + 1 50039 KachelY 48497 1.65583639 -1.13511640 94.872437 -65.037379
    Unten links KachelX 50038 KachelY + 1 48498 1.65574051 -1.13515686 94.866943 -65.039697
    Unten rechts KachelX + 1 50039 KachelY + 1 48498 1.65583639 -1.13515686 94.872437 -65.039697
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13511640--1.13515686) × R
    4.04599999999089e-05 × 6371000     		dl = 257.77065999942m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13511640--1.13515686) × R
    4.04599999999089e-05 × 6371000     		dr = 257.77065999942m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65574051-1.65583639) × cos(-1.13511640) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.422026909151282 × 6371000     		do = 257.795762054717m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65574051-1.65583639) × cos(-1.13515686) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.421990228445362 × 6371000     		du = 257.773355591218m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13511640)-sin(-1.13515686))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.422026909151282-0.421990228445362)×R²
    abs(1.65583639-1.65574051)×3.66807059204444e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.66807059204444e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.66807059204444e-05×40589641000000     		ar = 66449.2958744563m²