Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50036 / 50937
↖ ↑ ↗
← S 70.127297°
E 94.855957°		 ← 207.63 m → S 70.127297°
E 94.861450°		 →
↑
207.63 m
↓
↑
207.63 m
↓
S 70.129164°
E 94.855957°		 ← 207.61 m →
43 108 m²		 S 70.129164°
E 94.861450°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50036 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50937 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763496398925781 y=0.777244567871094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763496398925781 × 216)
    floor (0.763496398925781 × 65536)
    floor (50036.5)     		tx = 50036
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777244567871094 × 216)
    floor (0.777244567871094 × 65536)
    floor (50937.5)     		ty = 50937
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50036 / 50937 ti = "16/50036/50937"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50036/50937.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50036 ÷ 216
    50036 ÷ 65536     		x = 0.76348876953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50937 ÷ 216
    50937 ÷ 65536     		y = 0.777236938476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76348876953125 × 2 - 1) × π
    0.5269775390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.65554877
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.777236938476562 × 2 - 1) × π
    -0.554473876953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.7419310583936
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65554877} λ = 1.65554877}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7419310583936))-π/2
    2×atan(0.175181787520192)-π/2
    2×0.173422046714007-π/2
    0.346844093428013-1.57079632675     		φ = -1.22395223
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65554877} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.855957°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22395223 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.127297°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50036 KachelY 50937 1.65554877 -1.22395223 94.855957 -70.127297
    Oben rechts KachelX + 1 50037 KachelY 50937 1.65564464 -1.22395223 94.861450 -70.127297
    Unten links KachelX 50036 KachelY + 1 50938 1.65554877 -1.22398482 94.855957 -70.129164
    Unten rechts KachelX + 1 50037 KachelY + 1 50938 1.65564464 -1.22398482 94.861450 -70.129164
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22395223--1.22398482) × R
    3.2589999999999e-05 × 6371000     		dl = 207.630889999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22395223--1.22398482) × R
    3.2589999999999e-05 × 6371000     		dr = 207.630889999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65554877-1.65564464) × cos(-1.22395223) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.339931535438714 × 6371000     		do = 207.626024483284m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65554877-1.65564464) × cos(-1.22398482) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.339900885986655 × 6371000     		du = 207.607304172809m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22395223)-sin(-1.22398482))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.339931535438714-0.339900885986655)×R²
    abs(1.65564464-1.65554877)×3.06494520587175e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.06494520587175e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.06494520587175e-05×40589641000000     		ar = 43107.6327970364m²