Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 50036 / 50292
↖ ↑ ↗
← S 68.887274°
E 94.855957°		 ← 220.01 m → S 68.887274°
E 94.861450°		 →
↑
219.99 m
↓
↑
219.99 m
↓
S 68.889252°
E 94.855957°		 ← 219.99 m →
48 398 m²		 S 68.889252°
E 94.861450°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50036 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50292 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763496398925781 y=0.767402648925781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763496398925781 × 216)
    floor (0.763496398925781 × 65536)
    floor (50036.5)     		tx = 50036
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.767402648925781 × 216)
    floor (0.767402648925781 × 65536)
    floor (50292.5)     		ty = 50292
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50036 / 50292 ti = "16/50036/50292"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50036/50292.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50036 ÷ 216
    50036 ÷ 65536     		x = 0.76348876953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50292 ÷ 216
    50292 ÷ 65536     		y = 0.76739501953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76348876953125 × 2 - 1) × π
    0.5269775390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.65554877
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76739501953125 × 2 - 1) × π
    -0.5347900390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.68009245788373
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65554877} λ = 1.65554877}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68009245788373))-π/2
    2×atan(0.186356745092584)-π/2
    2×0.18424329431042-π/2
    0.36848658862084-1.57079632675     		φ = -1.20230974
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65554877} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.855957°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20230974 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.887274°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50036 KachelY 50292 1.65554877 -1.20230974 94.855957 -68.887274
    Oben rechts KachelX + 1 50037 KachelY 50292 1.65564464 -1.20230974 94.861450 -68.887274
    Unten links KachelX 50036 KachelY + 1 50293 1.65554877 -1.20234427 94.855957 -68.889252
    Unten rechts KachelX + 1 50037 KachelY + 1 50293 1.65564464 -1.20234427 94.861450 -68.889252
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20230974--1.20234427) × R
    3.45299999999771e-05 × 6371000     		dl = 219.990629999854m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20230974--1.20234427) × R
    3.45299999999771e-05 × 6371000     		dr = 219.990629999854m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65554877-1.65564464) × cos(-1.20230974) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.360204021861827 × 6371000     		do = 220.008211258012m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65554877-1.65564464) × cos(-1.20234427) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.360171809523369 × 6371000     		du = 219.988536355639m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20230974)-sin(-1.20234427))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.360204021861827-0.360171809523369)×R²
    abs(1.65564464-1.65554877)×3.22123384578488e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.22123384578488e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.22123384578488e-05×40589641000000     		ar = 48397.5808572169m²