Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50036 / 48300
↖ ↑ ↗
← S 64.576754°
E 94.855957°		 ← 262.21 m → S 64.576754°
E 94.861450°		 →
↑
262.23 m
↓
↑
262.23 m
↓
S 64.579112°
E 94.855957°		 ← 262.19 m →
68 757 m²		 S 64.579112°
E 94.861450°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50036 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48300 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763496398925781 y=0.737007141113281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763496398925781 × 216)
    floor (0.763496398925781 × 65536)
    floor (50036.5)     		tx = 50036
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.737007141113281 × 216)
    floor (0.737007141113281 × 65536)
    floor (48300.5)     		ty = 48300
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50036 / 48300 ti = "16/50036/48300"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50036/48300.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50036 ÷ 216
    50036 ÷ 65536     		x = 0.76348876953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48300 ÷ 216
    48300 ÷ 65536     		y = 0.73699951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76348876953125 × 2 - 1) × π
    0.5269775390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.65554877
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73699951171875 × 2 - 1) × π
    -0.4739990234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.48911184979742
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65554877} λ = 1.65554877}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48911184979742))-π/2
    2×atan(0.225572909223623)-π/2
    2×0.221859678643708-π/2
    0.443719357287416-1.57079632675     		φ = -1.12707697
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65554877} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.855957°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12707697 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.576754°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50036 KachelY 48300 1.65554877 -1.12707697 94.855957 -64.576754
    Oben rechts KachelX + 1 50037 KachelY 48300 1.65564464 -1.12707697 94.861450 -64.576754
    Unten links KachelX 50036 KachelY + 1 48301 1.65554877 -1.12711813 94.855957 -64.579112
    Unten rechts KachelX + 1 50037 KachelY + 1 48301 1.65564464 -1.12711813 94.861450 -64.579112
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12707697--1.12711813) × R
    4.11599999998735e-05 × 6371000     		dl = 262.230359999194m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12707697--1.12711813) × R
    4.11599999998735e-05 × 6371000     		dr = 262.230359999194m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65554877-1.65564464) × cos(-1.12707697) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.429301605415843 × 6371000     		do = 262.212170229357m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65554877-1.65564464) × cos(-1.12711813) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.429264430937704 × 6371000     		du = 262.189464512754m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12707697)-sin(-1.12711813))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.429301605415843-0.429264430937704)×R²
    abs(1.65564464-1.65554877)×3.7174478138946e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.7174478138946e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.7174478138946e-05×40589641000000     		ar = 68757.0147409199m²