Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50034 / 50930
↖ ↑ ↗
← S 70.114222°
E 94.844971°		 ← 207.76 m → S 70.114222°
E 94.850464°		 →
↑
207.76 m
↓
↑
207.76 m
↓
S 70.116091°
E 94.844971°		 ← 207.74 m →
43 161 m²		 S 70.116091°
E 94.850464°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50034 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50930 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763465881347656 y=0.777137756347656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763465881347656 × 216)
    floor (0.763465881347656 × 65536)
    floor (50034.5)     		tx = 50034
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777137756347656 × 216)
    floor (0.777137756347656 × 65536)
    floor (50930.5)     		ty = 50930
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50034 / 50930 ti = "16/50034/50930"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50034/50930.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50034 ÷ 216
    50034 ÷ 65536     		x = 0.763458251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50930 ÷ 216
    50930 ÷ 65536     		y = 0.777130126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763458251953125 × 2 - 1) × π
    0.52691650390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.65535702
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.777130126953125 × 2 - 1) × π
    -0.55426025390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.74125994179892
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65535702} λ = 1.65535702}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74125994179892))-π/2
    2×atan(0.175299394384428)-π/2
    2×0.173536149563516-π/2
    0.347072299127031-1.57079632675     		φ = -1.22372403
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65535702} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.844971°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22372403 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.114222°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50034 KachelY 50930 1.65535702 -1.22372403 94.844971 -70.114222
    Oben rechts KachelX + 1 50035 KachelY 50930 1.65545289 -1.22372403 94.850464 -70.114222
    Unten links KachelX 50034 KachelY + 1 50931 1.65535702 -1.22375664 94.844971 -70.116091
    Unten rechts KachelX + 1 50035 KachelY + 1 50931 1.65545289 -1.22375664 94.850464 -70.116091
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22372403--1.22375664) × R
    3.26099999998775e-05 × 6371000     		dl = 207.758309999219m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22372403--1.22375664) × R
    3.26099999998775e-05 × 6371000     		dr = 207.758309999219m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65535702-1.65545289) × cos(-1.22372403) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.340146137318151 × 6371000     		do = 207.757100686663m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65535702-1.65545289) × cos(-1.22375664) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.340115471587187 × 6371000     		du = 207.738370433232m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22372403)-sin(-1.22375664))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.340146137318151-0.340115471587187)×R²
    abs(1.65545289-1.65535702)×3.06657309643299e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.06657309643299e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.06657309643299e-05×40589641000000     		ar = 43161.3184499384m²