Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 50034 / 48494
↖ ↑ ↗
← S 65.030423°
E 94.844971°		 ← 257.84 m → S 65.030423°
E 94.850464°		 →
↑
257.83 m
↓
↑
257.83 m
↓
S 65.032742°
E 94.844971°		 ← 257.81 m →
66 476 m²		 S 65.032742°
E 94.850464°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50034 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48494 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763465881347656 y=0.739967346191406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763465881347656 × 216)
    floor (0.763465881347656 × 65536)
    floor (50034.5)     		tx = 50034
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739967346191406 × 216)
    floor (0.739967346191406 × 65536)
    floor (48494.5)     		ty = 48494
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50034 / 48494 ti = "16/50034/48494"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50034/48494.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50034 ÷ 216
    50034 ÷ 65536     		x = 0.763458251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48494 ÷ 216
    48494 ÷ 65536     		y = 0.739959716796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763458251953125 × 2 - 1) × π
    0.52691650390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.65535702
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.739959716796875 × 2 - 1) × π
    -0.47991943359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.50771136685001
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65535702} λ = 1.65535702}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50771136685001))-π/2
    2×atan(0.221416138845459)-π/2
    2×0.217900664838111-π/2
    0.435801329676223-1.57079632675     		φ = -1.13499500
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65535702} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.844971°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13499500 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.030423°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50034 KachelY 48494 1.65535702 -1.13499500 94.844971 -65.030423
    Oben rechts KachelX + 1 50035 KachelY 48494 1.65545289 -1.13499500 94.850464 -65.030423
    Unten links KachelX 50034 KachelY + 1 48495 1.65535702 -1.13503547 94.844971 -65.032742
    Unten rechts KachelX + 1 50035 KachelY + 1 48495 1.65545289 -1.13503547 94.850464 -65.032742
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13499500--1.13503547) × R
    4.04700000000702e-05 × 6371000     		dl = 257.834370000447m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13499500--1.13503547) × R
    4.04700000000702e-05 × 6371000     		dr = 257.834370000447m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65535702-1.65545289) × cos(-1.13499500) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.422136965254267 × 6371000     		do = 257.836095642216m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65535702-1.65545289) × cos(-1.13503547) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.422100277555966 × 6371000     		du = 257.813687244784m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13499500)-sin(-1.13503547))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.422136965254267-0.422100277555966)×R²
    abs(1.65545289-1.65535702)×3.66876983015074e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.66876983015074e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.66876983015074e-05×40589641000000     		ar = 66476.1184649846m²