Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 50033 / 48495
↖ ↑ ↗
← S 65.032742°
E 94.839477°		 ← 257.84 m → S 65.032742°
E 94.844971°		 →
↑
257.77 m
↓
↑
257.77 m
↓
S 65.035060°
E 94.839477°		 ← 257.82 m →
66 461 m²		 S 65.035060°
E 94.844971°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50033 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48495 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763450622558594 y=0.739982604980469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763450622558594 × 216)
    floor (0.763450622558594 × 65536)
    floor (50033.5)     		tx = 50033
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739982604980469 × 216)
    floor (0.739982604980469 × 65536)
    floor (48495.5)     		ty = 48495
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50033 / 48495 ti = "16/50033/48495"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50033/48495.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50033 ÷ 216
    50033 ÷ 65536     		x = 0.763442993164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48495 ÷ 216
    48495 ÷ 65536     		y = 0.739974975585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763442993164062 × 2 - 1) × π
    0.526885986328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.65526114
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.739974975585938 × 2 - 1) × π
    -0.479949951171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.50780724064925
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65526114} λ = 1.65526114}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50780724064925))-π/2
    2×atan(0.221394911856588)-π/2
    2×0.217880429780017-π/2
    0.435760859560033-1.57079632675     		φ = -1.13503547
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65526114} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.839477°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13503547 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.032742°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50033 KachelY 48495 1.65526114 -1.13503547 94.839477 -65.032742
    Oben rechts KachelX + 1 50034 KachelY 48495 1.65535702 -1.13503547 94.844971 -65.032742
    Unten links KachelX 50033 KachelY + 1 48496 1.65526114 -1.13507593 94.839477 -65.035060
    Unten rechts KachelX + 1 50034 KachelY + 1 48496 1.65535702 -1.13507593 94.844971 -65.035060
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13503547--1.13507593) × R
    4.04599999999089e-05 × 6371000     		dl = 257.77065999942m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13503547--1.13507593) × R
    4.04599999999089e-05 × 6371000     		dr = 257.77065999942m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65526114-1.65535702) × cos(-1.13503547) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.422100277555966 × 6371000     		do = 257.840579253901m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65526114-1.65535702) × cos(-1.13507593) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.422063598232002 × 6371000     		du = 257.818173634572m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13503547)-sin(-1.13507593))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.422100277555966-0.422063598232002)×R²
    abs(1.65535702-1.65526114)×3.66793239637286e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.66793239637286e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.66793239637286e-05×40589641000000     		ar = 66460.8485420197m²