Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50031 / 50875
↖ ↑ ↗
← S 70.011200°
E 94.828491°		 ← 208.79 m → S 70.011200°
E 94.833984°		 →
↑
208.84 m
↓
↑
208.84 m
↓
S 70.013079°
E 94.828491°		 ← 208.77 m →
43 602 m²		 S 70.013079°
E 94.833984°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50031 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50875 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763420104980469 y=0.776298522949219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763420104980469 × 216)
    floor (0.763420104980469 × 65536)
    floor (50031.5)     		tx = 50031
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776298522949219 × 216)
    floor (0.776298522949219 × 65536)
    floor (50875.5)     		ty = 50875
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50031 / 50875 ti = "16/50031/50875"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50031/50875.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50031 ÷ 216
    50031 ÷ 65536     		x = 0.763412475585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50875 ÷ 216
    50875 ÷ 65536     		y = 0.776290893554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763412475585938 × 2 - 1) × π
    0.526824951171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.65506940
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.776290893554688 × 2 - 1) × π
    -0.552581787109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.73598688284071
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65506940} λ = 1.65506940}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73598688284071))-π/2
    2×atan(0.176226199828734)-π/2
    2×0.174435181550812-π/2
    0.348870363101623-1.57079632675     		φ = -1.22192596
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65506940} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.828491°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22192596 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.011200°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50031 KachelY 50875 1.65506940 -1.22192596 94.828491 -70.011200
    Oben rechts KachelX + 1 50032 KachelY 50875 1.65516527 -1.22192596 94.833984 -70.011200
    Unten links KachelX 50031 KachelY + 1 50876 1.65506940 -1.22195874 94.828491 -70.013079
    Unten rechts KachelX + 1 50032 KachelY + 1 50876 1.65516527 -1.22195874 94.833984 -70.013079
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22192596--1.22195874) × R
    3.27799999999545e-05 × 6371000     		dl = 208.84137999971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22192596--1.22195874) × R
    3.27799999999545e-05 × 6371000     		dr = 208.84137999971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65506940-1.65516527) × cos(-1.22192596) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.341836442291753 × 6371000     		do = 208.789518292109m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65506940-1.65516527) × cos(-1.22195874) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.341805636792932 × 6371000     		du = 208.77070267018m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22192596)-sin(-1.22195874))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.341836442291753-0.341805636792932)×R²
    abs(1.65516527-1.65506940)×3.0805498820563e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.0805498820563e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.0805498820563e-05×40589641000000     		ar = 43601.9263930194m²