Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50030 / 50288
↖ ↑ ↗
← S 68.879358°
E 94.822998°		 ← 220.11 m → S 68.879358°
E 94.828491°		 →
↑
220.05 m
↓
↑
220.05 m
↓
S 68.881337°
E 94.822998°		 ← 220.09 m →
48 434 m²		 S 68.881337°
E 94.828491°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50030 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50288 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763404846191406 y=0.767341613769531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763404846191406 × 216)
    floor (0.763404846191406 × 65536)
    floor (50030.5)     		tx = 50030
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.767341613769531 × 216)
    floor (0.767341613769531 × 65536)
    floor (50288.5)     		ty = 50288
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50030 / 50288 ti = "16/50030/50288"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50030/50288.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50030 ÷ 216
    50030 ÷ 65536     		x = 0.763397216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50288 ÷ 216
    50288 ÷ 65536     		y = 0.767333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763397216796875 × 2 - 1) × π
    0.52679443359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.65497352
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.767333984375 × 2 - 1) × π
    -0.53466796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.67970896268677
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65497352} λ = 1.65497352}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67970896268677))-π/2
    2×atan(0.18642822571461)-π/2
    2×0.184312374922827-π/2
    0.368624749845654-1.57079632675     		φ = -1.20217158
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65497352} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.822998°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20217158 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.879358°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50030 KachelY 50288 1.65497352 -1.20217158 94.822998 -68.879358
    Oben rechts KachelX + 1 50031 KachelY 50288 1.65506940 -1.20217158 94.828491 -68.879358
    Unten links KachelX 50030 KachelY + 1 50289 1.65497352 -1.20220612 94.822998 -68.881337
    Unten rechts KachelX + 1 50031 KachelY + 1 50289 1.65506940 -1.20220612 94.828491 -68.881337
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20217158--1.20220612) × R
    3.45400000001383e-05 × 6371000     		dl = 220.054340000881m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20217158--1.20220612) × R
    3.45400000001383e-05 × 6371000     		dr = 220.054340000881m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65497352-1.65506940) × cos(-1.20217158) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.360332904233438 × 6371000     		do = 220.10988784355m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65497352-1.65506940) × cos(-1.20220612) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.360300684285261 × 6371000     		du = 220.09020624052m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20217158)-sin(-1.20220612))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.360332904233438-0.360300684285261)×R²
    abs(1.65506940-1.65497352)×3.22199481769814e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.22199481769814e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.22199481769814e-05×40589641000000     		ar = 48433.9705908207m²