Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 5003 / 3453
↖ ↑ ↗
← N 71.545786°
W 70.070801°		 ← 773.39 m → N 71.545786°
W 70.048828°		 →
↑
773.57 m
↓
↑
773.57 m
↓
N 71.538830°
W 70.070801°		 ← 773.67 m →
598 379 m²		 N 71.538830°
W 70.048828°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5003 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3453 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.305389404296875 y=0.210784912109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.305389404296875 × 214)
    floor (0.305389404296875 × 16384)
    floor (5003.5)     		tx = 5003
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.210784912109375 × 214)
    floor (0.210784912109375 × 16384)
    floor (3453.5)     		ty = 3453
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5003 / 3453 ti = "14/5003/3453"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5003/3453.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5003 ÷ 214
    5003 ÷ 16384     		x = 0.30535888671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3453 ÷ 214
    3453 ÷ 16384     		y = 0.21075439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.30535888671875 × 2 - 1) × π
    -0.3892822265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.22296618
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21075439453125 × 2 - 1) × π
    0.5784912109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.81738373839557
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.22296618} λ = -1.22296618}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.81738373839557))-π/2
    2×atan(6.15573235782923)-π/2
    2×1.40975293395009-π/2
    2.81950586790018-1.57079632675     		φ = 1.24870954
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.22296618} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -70.070801°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24870954 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.545786°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5003 KachelY 3453 -1.22296618 1.24870954 -70.070801 71.545786
    Oben rechts KachelX + 1 5004 KachelY 3453 -1.22258269 1.24870954 -70.048828 71.545786
    Unten links KachelX 5003 KachelY + 1 3454 -1.22296618 1.24858812 -70.070801 71.538830
    Unten rechts KachelX + 1 5004 KachelY + 1 3454 -1.22258269 1.24858812 -70.048828 71.538830
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24870954-1.24858812) × R
    0.000121419999999928 × 6371000     		dl = 773.566819999539m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24870954-1.24858812) × R
    0.000121419999999928 × 6371000     		dr = 773.566819999539m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.22296618--1.22258269) × cos(1.24870954) × R
    0.000383489999999931 × 0.316546726196189 × 6371000     		do = 773.39164316847m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.22296618--1.22258269) × cos(1.24858812) × R
    0.000383489999999931 × 0.316661900071944 × 6371000     		du = 773.673037685136m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24870954)-sin(1.24858812))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.316546726196189-0.316661900071944)×R²
    abs(-1.22258269--1.22296618)×0.00011517387575477×R²
    0.000383489999999931×0.00011517387575477×6371000²
    0.000383489999999931×0.00011517387575477×40589641000000     		ar = 598378.953486664m²