Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 50027 / 50915
↖ ↑ ↗
← S 70.086176°
E 94.806518°		 ← 208.04 m → S 70.086176°
E 94.812011°		 →
↑
208.01 m
↓
↑
208.01 m
↓
S 70.088047°
E 94.806518°		 ← 208.02 m →
43 273 m²		 S 70.088047°
E 94.812011°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50027 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50915 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763359069824219 y=0.776908874511719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763359069824219 × 216)
    floor (0.763359069824219 × 65536)
    floor (50027.5)     		tx = 50027
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776908874511719 × 216)
    floor (0.776908874511719 × 65536)
    floor (50915.5)     		ty = 50915
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50027 / 50915 ti = "16/50027/50915"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50027/50915.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50027 ÷ 216
    50027 ÷ 65536     		x = 0.763351440429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50915 ÷ 216
    50915 ÷ 65536     		y = 0.776901245117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763351440429688 × 2 - 1) × π
    0.526702880859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.65468590
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.776901245117188 × 2 - 1) × π
    -0.553802490234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.73982183481032
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65468590} λ = 1.65468590}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73982183481032))-π/2
    2×atan(0.175551675028389)-π/2
    2×0.173780898280385-π/2
    0.347561796560769-1.57079632675     		φ = -1.22323453
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65468590} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.806518°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22323453 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.086176°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50027 KachelY 50915 1.65468590 -1.22323453 94.806518 -70.086176
    Oben rechts KachelX + 1 50028 KachelY 50915 1.65478177 -1.22323453 94.812011 -70.086176
    Unten links KachelX 50027 KachelY + 1 50916 1.65468590 -1.22326718 94.806518 -70.088047
    Unten rechts KachelX + 1 50028 KachelY + 1 50916 1.65478177 -1.22326718 94.812011 -70.088047
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22323453--1.22326718) × R
    3.26499999998564e-05 × 6371000     		dl = 208.013149999085m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22323453--1.22326718) × R
    3.26499999998564e-05 × 6371000     		dr = 208.013149999085m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65468590-1.65478177) × cos(-1.22323453) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.340606408930607 × 6371000     		do = 208.038228958429m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65468590-1.65478177) × cos(-1.22326718) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.340575711024003 × 6371000     		du = 208.01947905251m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22323453)-sin(-1.22326718))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.340606408930607-0.340575711024003)×R²
    abs(1.65478177-1.65468590)×3.06979066038715e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.06979066038715e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.06979066038715e-05×40589641000000     		ar = 43272.7372163662m²