Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50024 / 84520
↖ ↑ ↗
← S 46.149394°
W 42.604981°		 ← 211.59 m → S 46.149394°
W 42.602234°		 →
↑
211.58 m
↓
↑
211.58 m
↓
S 46.151297°
W 42.604981°		 ← 211.59 m →
44 768 m²		 S 46.151297°
W 42.602234°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50024 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84520 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.381656646728516 y=0.644840240478516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.381656646728516 × 217)
    floor (0.381656646728516 × 131072)
    floor (50024.5)     		tx = 50024
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.644840240478516 × 217)
    floor (0.644840240478516 × 131072)
    floor (84520.5)     		ty = 84520
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50024 / 84520 ti = "17/50024/84520"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50024/84520.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50024 ÷ 217
    50024 ÷ 131072     		x = 0.38165283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84520 ÷ 217
    84520 ÷ 131072     		y = 0.64483642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38165283203125 × 2 - 1) × π
    -0.2366943359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.74359719
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64483642578125 × 2 - 1) × π
    -0.2896728515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.910034102387146
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74359719} λ = -0.74359719}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.910034102387146))-π/2
    2×atan(0.402510497230772)-π/2
    2×0.38266872357102-π/2
    0.765337447142039-1.57079632675     		φ = -0.80545888
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74359719} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.604981°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80545888 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.149394°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50024 KachelY 84520 -0.74359719 -0.80545888 -42.604981 -46.149394
    Oben rechts KachelX + 1 50025 KachelY 84520 -0.74354925 -0.80545888 -42.602234 -46.149394
    Unten links KachelX 50024 KachelY + 1 84521 -0.74359719 -0.80549209 -42.604981 -46.151297
    Unten rechts KachelX + 1 50025 KachelY + 1 84521 -0.74354925 -0.80549209 -42.602234 -46.151297
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80545888--0.80549209) × R
    3.32100000000057e-05 × 6371000     		dl = 211.580910000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80545888--0.80549209) × R
    3.32100000000057e-05 × 6371000     		dr = 211.580910000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74359719--0.74354925) × cos(-0.80545888) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.692780387293482 × 6371000     		do = 211.59296244646m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74359719--0.74354925) × cos(-0.80549209) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.692756437565716 × 6371000     		du = 211.585647583134m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80545888)-sin(-0.80549209))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.692780387293482-0.692756437565716)×R²
    abs(-0.74354925--0.74359719)×2.39497277666478e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39497277666478e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39497277666478e-05×40589641000000     		ar = 44768.257705476m²