Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50024 / 48489
↖ ↑ ↗
← S 65.018826°
E 94.790039°		 ← 257.95 m → S 65.018826°
E 94.795532°		 →
↑
257.96 m
↓
↑
257.96 m
↓
S 65.021146°
E 94.790039°		 ← 257.93 m →
66 538 m²		 S 65.021146°
E 94.795532°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50024 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48489 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763313293457031 y=0.739891052246094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763313293457031 × 216)
    floor (0.763313293457031 × 65536)
    floor (50024.5)     		tx = 50024
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739891052246094 × 216)
    floor (0.739891052246094 × 65536)
    floor (48489.5)     		ty = 48489
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50024 / 48489 ti = "16/50024/48489"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50024/48489.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50024 ÷ 216
    50024 ÷ 65536     		x = 0.7633056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48489 ÷ 216
    48489 ÷ 65536     		y = 0.739883422851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7633056640625 × 2 - 1) × π
    0.526611328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.65439828
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.739883422851562 × 2 - 1) × π
    -0.479766845703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.50723199785381
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65439828} λ = 1.65439828}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50723199785381))-π/2
    2×atan(0.221522304321866)-π/2
    2×0.218001866512371-π/2
    0.436003733024741-1.57079632675     		φ = -1.13479259
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65439828} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.790039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13479259 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.018826°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50024 KachelY 48489 1.65439828 -1.13479259 94.790039 -65.018826
    Oben rechts KachelX + 1 50025 KachelY 48489 1.65449415 -1.13479259 94.795532 -65.018826
    Unten links KachelX 50024 KachelY + 1 48490 1.65439828 -1.13483308 94.790039 -65.021146
    Unten rechts KachelX + 1 50025 KachelY + 1 48490 1.65449415 -1.13483308 94.795532 -65.021146
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13479259--1.13483308) × R
    4.04899999999486e-05 × 6371000     		dl = 257.961789999673m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13479259--1.13483308) × R
    4.04899999999486e-05 × 6371000     		dr = 257.961789999673m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65439828-1.65449415) × cos(-1.13479259) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.422320447760598 × 6371000     		do = 257.948164513092m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65439828-1.65449415) × cos(-1.13483308) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.422283745391573 × 6371000     		du = 257.925747154961m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13479259)-sin(-1.13483308))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.422320447760598-0.422283745391573)×R²
    abs(1.65449415-1.65439828)×3.67023690252544e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.67023690252544e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.67023690252544e-05×40589641000000     		ar = 66537.8788428624m²