Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50023 / 84213
↖ ↑ ↗
← S 45.562141°
W 42.607727°		 ← 213.79 m → S 45.562141°
W 42.604981°		 →
↑
213.87 m
↓
↑
213.87 m
↓
S 45.564064°
W 42.607727°		 ← 213.79 m →
45 724 m²		 S 45.564064°
W 42.604981°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50023 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84213 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.381649017333984 y=0.642498016357422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.381649017333984 × 217)
    floor (0.381649017333984 × 131072)
    floor (50023.5)     		tx = 50023
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642498016357422 × 217)
    floor (0.642498016357422 × 131072)
    floor (84213.5)     		ty = 84213
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50023 / 84213 ti = "17/50023/84213"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50023/84213.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50023 ÷ 217
    50023 ÷ 131072     		x = 0.381645202636719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84213 ÷ 217
    84213 ÷ 131072     		y = 0.642494201660156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.381645202636719 × 2 - 1) × π
    -0.236709594726562 × 3.1415926535     		Λ = -0.74364512
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.642494201660156 × 2 - 1) × π
    -0.284988403320312 × 3.1415926535     		Φ = -0.895317474203789
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74364512} λ = -0.74364512}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.895317474203789))-π/2
    2×atan(0.408477896858382)-π/2
    2×0.387793476322492-π/2
    0.775586952644984-1.57079632675     		φ = -0.79520937
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74364512} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.607727°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79520937 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.562141°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50023 KachelY 84213 -0.74364512 -0.79520937 -42.607727 -45.562141
    Oben rechts KachelX + 1 50024 KachelY 84213 -0.74359719 -0.79520937 -42.604981 -45.562141
    Unten links KachelX 50023 KachelY + 1 84214 -0.74364512 -0.79524294 -42.607727 -45.564064
    Unten rechts KachelX + 1 50024 KachelY + 1 84214 -0.74359719 -0.79524294 -42.604981 -45.564064
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79520937--0.79524294) × R
    3.35699999999273e-05 × 6371000     		dl = 213.874469999537m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79520937--0.79524294) × R
    3.35699999999273e-05 × 6371000     		dr = 213.874469999537m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74364512--0.74359719) × cos(-0.79520937) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.700135289070396 × 6371000     		do = 213.794733145304m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74364512--0.74359719) × cos(-0.79524294) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.700111319353214 × 6371000     		du = 213.787413703807m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79520937)-sin(-0.79524294))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.700135289070396-0.700111319353214)×R²
    abs(-0.74359719--0.74364512)×2.3969717181882e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.3969717181882e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.3969717181882e-05×40589641000000     		ar = 45724.4525235748m²