Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 50023 / 48491
↖ ↑ ↗
← S 65.023466°
E 94.784546°		 ← 257.90 m → S 65.023466°
E 94.790039°		 →
↑
257.90 m
↓
↑
257.90 m
↓
S 65.025785°
E 94.784546°		 ← 257.88 m →
66 510 m²		 S 65.025785°
E 94.790039°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50023 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48491 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763298034667969 y=0.739921569824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763298034667969 × 216)
    floor (0.763298034667969 × 65536)
    floor (50023.5)     		tx = 50023
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739921569824219 × 216)
    floor (0.739921569824219 × 65536)
    floor (48491.5)     		ty = 48491
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50023 / 48491 ti = "16/50023/48491"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50023/48491.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50023 ÷ 216
    50023 ÷ 65536     		x = 0.763290405273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48491 ÷ 216
    48491 ÷ 65536     		y = 0.739913940429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763290405273438 × 2 - 1) × π
    0.526580810546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.65430241
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.739913940429688 × 2 - 1) × π
    -0.479827880859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.50742374545229
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65430241} λ = 1.65430241}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50742374545229))-π/2
    2×atan(0.221479832024113)-π/2
    2×0.217961380565431-π/2
    0.435922761130862-1.57079632675     		φ = -1.13487357
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65430241} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.784546°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13487357 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.023466°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50023 KachelY 48491 1.65430241 -1.13487357 94.784546 -65.023466
    Oben rechts KachelX + 1 50024 KachelY 48491 1.65439828 -1.13487357 94.790039 -65.023466
    Unten links KachelX 50023 KachelY + 1 48492 1.65430241 -1.13491405 94.784546 -65.025785
    Unten rechts KachelX + 1 50024 KachelY + 1 48492 1.65439828 -1.13491405 94.790039 -65.025785
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13487357--1.13491405) × R
    4.04799999997874e-05 × 6371000     		dl = 257.898079998645m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13487357--1.13491405) × R
    4.04799999997874e-05 × 6371000     		dr = 257.898079998645m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65430241-1.65439828) × cos(-1.13487357) × R
    9.58700000002199e-05 × 0.422247042330239 × 6371000     		do = 257.903329374574m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65430241-1.65439828) × cos(-1.13491405) × R
    9.58700000002199e-05 × 0.422210347641635 × 6371000     		du = 257.880916707551m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13487357)-sin(-1.13491405))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.422247042330239-0.422210347641635)×R²
    abs(1.65439828-1.65430241)×3.66946886038444e-05×R²
    9.58700000002199e-05×3.66946886038444e-05×6371000²
    9.58700000002199e-05×3.66946886038444e-05×40589641000000     		ar = 66509.8833880666m²